Question

Y' - ((2x-5)/x^2)y=5 Y(2)=4

Answer 1

Ответ:

y=x²

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение вида:

\[ Y' - \frac{2x-5}{x^2}Y = 5 \]

с начальным условием \( Y(2) = 4 \).

Давайте решим это уравнение. Сначала приведем его к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. Умножим обе стороны уравнения на \( x^2 \):

\[ x^2Y' - (2x-5)Y = 5x^2 \]

Теперь приведем уравнение к стандартному виду для линейного дифференциального уравнения:

\[ Y' - \frac{2x-5}{x^2}Y = 5 \]

Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме:

\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]

где \( P(x) = -\frac{2x-5}{x^2} \) и \( Q(x) = 5 \).

Теперь воспользуемся методом интегрирующего множителя, чтобы решить уравнение. Множитель \( \mu(x) \) определяется как \( e^{\int P(x) \,dx} \). Вычислим интеграл:

\[ \int P(x) \,dx = \int -\frac{2x-5}{x^2} \,dx \]

\[ = \int \left(-2x^{-1} + 5x^{-2}\right) \,dx \]

\[ = -2\int x^{-1} \,dx + 5\int x^{-2} \,dx \]

\[ = -2\ln|x| - \frac{5}{x} \]

Теперь вычислим \( \mu(x) \):

\[ \mu(x) = e^{-2\ln|x| - \frac{5}{x}} \]

\[ = e^{-2\ln|x|} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \]

\[ = x^{-2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \( \mu(x) \):

\[ x^{-2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \cdot \frac{dy}{dx} - x^{-2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \cdot \frac{2x-5}{x^2} \cdot y = 5 \cdot x^{-2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \]

\[ \frac{1}{x^2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{2x-5}{x^4} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \cdot y = 5 \cdot x^{-2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \]

Теперь левая часть уравнения представляет собой производную произведения \( \frac{1}{x^2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \cdot y \):

\[ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \cdot y\right) = 5 \cdot x^{-2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \]

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

\[ \frac{1}{x^2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \cdot y = \int 5 \cdot x^{-2} \cdot e^{-\frac{5}{x}} \,dx \]

Затем решим этот интеграл. Это может потребовать использования методов численного интегрирования или других методов, в зависимости от сложности интеграла.

После того, как мы найдем интеграл, можно решить уравнение для \( y \) и использовать начальное условие \( Y(2) = 4 \), чтобы определить константу интегрирования.