Question

Найдите точку максимума функции y=3x^2+2x^3-7

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции y = 3x^2 + 2x^3 - 7, нам нужно найти экстремумы функции.

Нахождение производной

Сначала найдем производную функции y по переменной x. Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности и сложим результаты:

y' = d/dx(3x^2) + d/dx(2x^3) - d/dx(7)

Производная каждого члена будет равна:

y' = 6x + 6x^2 - 0

y' = 6x + 6x^2

Нахождение точек экстремума

Для нахождения точек экстремума приравняем производную функции к нулю и решим уравнение:

6x + 6x^2 = 0

Вынесем общий множитель 6x:

6x(1 + x) = 0

Теперь у нас есть два множителя: 6x = 0 и (1 + x) = 0. Решим каждое уравнение по отдельности:

1) 6x = 0 x = 0

2) 1 + x = 0 x = -1

Таким образом, у нас есть две точки, где производная функции равна нулю: x = 0 и x = -1.

Определение типа экстремума

Для определения типа экстремума, проверим знаки производной в окрестностях найденных точек.

1) Когда x < -1: Подставим x = -2 в производную y':

y' = 6(-2) + 6(-2)^2 = -12 + 24 = 12

Получаем положительное значение производной, что означает, что функция возрастает слева от точки x = -1.

2) Когда -1 < x < 0: Подставим x = -0.5 в производную y':

y' = 6(-0.5) + 6(-0.5)^2 = -3 + 1.5 = -1.5

Получаем отрицательное значение производной, что означает, что функция убывает между точками x = -1 и x = 0.

3) Когда x > 0: Подставим x = 1 в производную y':

y' = 6(1) + 6(1)^2 = 6 + 6 = 12

Получаем положительное значение производной, что означает, что функция возрастает справа от точки x = 0.

Ответ

Итак, мы нашли две точки, где производная функции равна нулю: x = 0 и x = -1. Анализируя знаки производной в окрестностях этих точек, мы можем сделать следующие выводы:

- В точке x = 0 функция имеет локальный максимум. - В точке x = -1 функция имеет локальный минимум.

Точка максимума будет (0, f(0)), где f(x) - это функция y = 3x^2 + 2x^3 - 7. Подставляя x = 0 в функцию, получим:

y = 3(0)^2 + 2(0)^3 - 7 = -7

Таким образом, точка максимума функции y = 3x^2 + 2x^3 - 7 находится в (0, -7).