Question

Какое наименьшее значение может принимать выражение 4x^2 y^2 + 4x^2 + у^2 - 4xy + 4x + 2y + 2 при действительных числах х и у?

Answer 1

Ответ:

-1

Пошаговое объяснение:

Решение в прикрепленном фото

Answer 2

Выражение 4x^2 + y^2 + 4x^2 + у^2 - 4xy + 4x + 2y + 2 можно переписать сгруппировав члены: (4x^2 + 4x^2 + 4x) + (y^2 + у^2 - 4xy + 2y) + 2.

Мы можем упростить каждую из групп отдельно:

Группа 1: 4x^2 + 4x^2 + 4x = 8x^2 + 4x^2 = 12x^2 + 4x.

Группа 2: y^2 + у^2 - 4xy + 2y = (y^2 - 2xy + x^2) + (y^2 + 2y + 1) - x^2 = (y - x)^2 + (y + 1)^2 - x^2.

Таким образом, наше выражение примет вид: (12x^2 + 4x) + ((y - x)^2 + (y + 1)^2 - x^2) + 2.

Теперь, чтобы найти наименьшее значение выражения, мы должны минимизировать каждую из групп.

1) Группа (12x^2 + 4x) будет минимальна, когда значение x будет минимальным. Так как x - действительное число, то эту группу нельзя минимизировать бесконечно, но мы можем сделать ее близкой к нулю, если x будет очень близким к нулю.

2) Группа ((y - x)^2 + (y + 1)^2 - x^2) будет минимальной, когда (y - x) и (y + 1) будут минимальными. Опять же, так как y и x - действительные числа, нам нужно выбрать такие значения, чтобы эта группа стала близкой к нулю. Если взять x = 0 и y = -1, то обе скобки будут равны нулю.

Таким образом, чтобы минимизировать выражение, мы можем взять x = 0 и y = -1. Подставляя эти значения в выражение, получаем:

(12 * 0^2 + 4 * 0) + ((-1 - 0)^2 + (-1 + 1)^2 - 0^2) + 2 = 0 + (1^2 + 0^2 - 0^2) + 2 = 0 + 1 + 2 = 3.

Таким образом, наименьшее значение выражения 4x^2 + y^2 + 4x^2 + у^2 - 4xy + 4x + 2y + 2 при действительных числах x и y равно 3.