Question

1. Решите уравнение: 2cosx = √3 2. Решите уравнение: log3(x^2 + 8x) = 2 3. Найдите разность корней уравнения: √16 + 3x = 6 + x 4. Найдите область определения функции: y = log2 (x^2 + x)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение поочерёдно:

1. Уравнение: \(2\cos(x) = \sqrt{3}\)

Решение: \[ \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Это уравнение имеет два решения на интервале [0, \(2\pi\)), так как \(\cos(x)\) равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{11\pi}{6}\). Если у вас есть другой интервал, учтите, что косинус имеет период \(2\pi\), и решения будут повторяться.

2. Уравнение: \(\log_3(x^2 + 8x) = 2\)

Решение: \[ x^2 + 8x = 3^2 \]

Приведем уравнение к квадратному виду: \[ x^2 + 8x - 9 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае \(a = 1\), \(b = 8\), и \(c = -9\). Подставим значения: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm 10}{2} \]

Таким образом, получаем два значения: \(x_1 = -9\) и \(x_2 = 1\).

3. Уравнение: \(\sqrt{16 + 3x} = 6 + x\)

Решение: \[ 16 + 3x = (6 + x)^2 \]

Раскроем квадрат и приведем уравнение к квадратному виду: \[ 16 + 3x = 36 + 12x + x^2 \]

\[ x^2 + 9x + 20 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Формула для корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае \(a = 1\), \(b = 9\), и \(c = 20\). Подставим значения: \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(1)(20)}}{2(1)} \] \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} \] \[ x = \frac{-9 \pm \sqrt{1}}{2} \]

Таким образом, получаем два значения: \(x_1 = -5\) и \(x_2 = -4\).

4. Область определения функции: \(y = \log_2(x^2 + x)\)

Логарифм определен только для положительных чисел. Поэтому выражение внутри логарифма, \(x^2 + x\), должно быть больше нуля. Решим неравенство: \[ x^2 + x > 0 \]

Факторизуем: \[ x(x + 1) > 0 \]

Неравенство выполняется, если \(x < 0\) или \(x + 1 > 0\). Таким образом, область определения функции \(y = \log_2(x^2 + x)\) - это интервал \((-1, 0)\).