Question

2. Разложите число 756 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел 1) 24 и 54; 2)72 n 254 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел 1) 16 и 32; 2) 15 8; 3) 16 4 12. 5. Докажите, что числа 272 и 1365 взаимно простые. 6. Вместо звездочки в записи 152* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140?

Answer 1

2.
756 = 2•2•3•3•3•7

3.
1) 16 = 2•2•2•2
32 = 2•2•2•2•2
НОК(16;32) = 2•2•2•2•2= 32
2) 15 = 3•5
8 = 2•2•2
НОК (15;8)= 2•2•2•3•5 = 120
3) 16, 4, 12
16 = 2•2•2•2
4 = 2•2
12 = 2•2•3
НОК(16;4;12) = 2•2•2•2•3 = 48

5.
272 = 2•2•2•2•17
1365 = 3•5•7•13
Видим, что в разложениях чисел нет ни одного одинакового множителя.
Значит эти числа взаимно простые.

6.
152*
Признак делимости на 3: на 3 деляится число, если сумма цифр в его составе делится на 3.
1 + 5 + 2 = 8
Вместо * можно поставить цифру от 0 до 9.
Если вместо звездочки поставить 1, получим:
1521
1+5+2+1 = 9 - делится на 3, значит и 1521 делится на 3.
Если вместо звездочки поставить 4, получим:
1524
1+5+2+4 = 12 - делится на 3, значит и 1524 делится на 3.
Если вместо звездочки поставить 7, получим:
1527
1+5+2+7 = 15 - делится на 3, значит и 1527 делится на 3.
Ответ: 1521; 1524; 1527.

7.
Надо найти НОК (12;8)
12 = 2•2•3
8 = 2•2•2
НОК (12,8) = 2•2•2•3 = 24
Следующие кратные числу 24:
24•2 = 48
24•3 = 72
24•4 = 96
24•5 = 120 удовлетворяет условию.
24•6 = 144
Только 120 книг удовлетворяет условию:
100<120<140
120 : 12 = 10 делится без остатка.
120 : 8 = 15 делится без остатка.
Ответ: 120 книг.

Answer 2

Давайте решим каждую задачу по порядку:

1. Разложение числа 756 на простые множители: \[756 = 2^2 \times 3^3 \times 7\]

2. Нахождение наибольшего общего делителя (НОД): 1. НОД(24, 54) - разложим числа на простые множители: \(24 = 2^3 \times 3\) и \(54 = 2 \times 3^3\). Теперь выберем общие простые множители и возьмем их минимальные степени: \(\text{НОД}(24, 54) = 2^1 \times 3^1 = 6\). 2. НОД(72, 254) - разложим числа: \(72 = 2^3 \times 3^2\) и \(254 = 2 \times 127\). Общих простых множителей нет, поэтому \(\text{НОД}(72, 254) = 1\).

3. Нахождение наименьшего общего кратного (НОК): 1. НОК(16, 32) - разложим числа на простые множители: \(16 = 2^4\) и \(32 = 2^5\). Общие простые множители возьмем с максимальными степенями: \(\text{НОК}(16, 32) = 2^5 = 32\). 2. НОК(15, 8) - разложим числа: \(15 = 3 \times 5\) и \(8 = 2^3\). Общих простых множителей нет, поэтому \(\text{НОК}(15, 8) = 2^3 \times 3 \times 5 = 120\). 3. НОК(16, 4, 12) - разложим числа: \(16 = 2^4\), \(4 = 2^2\) и \(12 = 2^2 \times 3\). Общие простые множители возьмем с максимальными степенями: \(\text{НОК}(16, 4, 12) = 2^4 \times 3 = 48\).

4. Доказательство взаимной простоты чисел 272 и 1365: Разложим числа на простые множители: \(272 = 2^4 \times 17\) и \(1365 = 3^2 \times 5 \times 17\). Общих простых множителей нет, поэтому числа взаимно просты.

5. Замена звездочки в записи 152* так, чтобы полученное число было кратно 3: Сумма цифр числа 152 равна 8, чтобы сделать число кратным 3, заменим * на 1 (8 + 1 = 9, что делится на 3).

6. Расстановка книг у Пети: Пусть \(x\) - количество книг на каждой полке до перестановки. После перестановки на 8 полках он имеет \(8x\) книг. Таким образом, \(\frac{8x}{12} = x\) (после перестановки количество книг на каждой полке одинаково). Решая уравнение, получим \(x = 12\). Теперь умножим на количество полок: \(12 \times 12 = 144\). Таким образом, у Пети было 144 книги.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.