Question

При каком наименьшем натуральном k число вида 111...11 k eдиниц делится на 333...33 ? 100 троек​

Answer 1

Ответ:

Запись этого числа состоит из 300 единиц

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами деления нацело и посмотреть, какие числа участвуют в данной ситуации.

Пусть \(N\) - число вида \(111...11\) с \(k\) единицами, и \(M\) - число вида \(333...33\) с \(100\) тройками.

Таким образом, у нас есть: \[ N = \frac{{10^k - 1}}{9} \] \[ M = \frac{{10^{100} - 1}}{3} \]

Теперь мы хотим найти такое наименьшее натуральное \(k\), при котором \(N\) делится на \(M\), то есть: \[ N \equiv 0 \pmod{M} \] \[ \frac{{10^k - 1}}{9} \equiv 0 \pmod{\frac{{10^{100} - 1}}{3}} \]

Для того чтобы \(N\) делилось на \(M\), необходимо, чтобы числитель \(10^k - 1\) был кратен 9, а знаменатель был кратен 3.

Обратим внимание, что \(10^{100} - 1\) уже кратно 3, поскольку каждая тройка в этом числе вносит вклад в кратность 3. Таким образом, нам нужно, чтобы \(10^k - 1\) было кратно 9.

Рассмотрим степени 10 по модулю 9: \[ 10^0 \equiv 1 \pmod{9} \] \[ 10^1 \equiv 1 \pmod{9} \] \[ 10^2 \equiv 1 \pmod{9} \] \[ \ldots \]

Таким образом, мы видим, что для любого натурального \(k\), где \(k\) - делитель 100, \(10^k - 1\) будет кратно 9.

Следовательно, наименьшее натуральное \(k\), при котором \(N\) делится на \(M\), это любой делитель 100. Таким образом, \(k\) может быть равно 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 или 100.