Question

Сума двох чисел дорівнює 8. Знайдіть найменше значення, якого може набувати сума квадратів цих чисел.​

Answer 1

Ответ:

32

Пошаговое объяснение:

Пусть х - первое число, тогда 8-х - второе число (т.к. их сумма равна 8).

Запишем сумму квадратов этих чисел:

х²+(8-х)² = х²+64-16х+х² = 2х²-16х+64

Составим функцию от переменной х:

f(x) = 2x²-16x+64

Найдём производную этой функции:

f `(x) = (2x²-16x+64)` = 2*2x-16 = 4x-16 = 4(x-4)

Приравняем производную нулю:

f `(x)=0 при 4(x-4) = 0

                     x-4=0

                     x=4 - критическая точка

Значит, х²+(8-х)² = 4²+(8-4)² = 16+4² = 16+16 =32 - искомое наименьшее значение суммы квадратов чисел, сумма которых равна 8.

Answer 2

Щоб знайти найменше значення, якого може набувати сума квадратів двох чисел, використаємо метод диференціального числення.

Нехай два числа, сума яких дорівнює 8, позначаємо як x та y.

Задача полягає в тому, щоб знайти найменше значення виразу x^2 + y^2 за умови, що x + y = 8.

Можна виразити одну змінну через іншу. Наприклад, можна виразити x через y за допомогою рівняння x = 8 - y.

Підставимо це значення x у вираз для суми квадратів:

x^2 + y^2 = (8 - y)^2 + y^2

Розкриємо дужки:

x^2 + y^2 = 64 - 16y + y^2 + y^2

Складемо усі члени:

x^2 + y^2 = 2y^2 - 16y + 64

Тепер маємо квадратичний вираз відносно однієї змінної (y) з позитивним коефіцієнтом при квадраті, а при лінійному члені від'ємною константою.

Щоб знайти найменше значення цього виразу, розв'язуємо рівняння на похідну, яке дорівнює нулю:

d/dy (2y^2 - 16y + 64) = 0

4y - 16 = 0

4y = 16

y = 4

Отримали значення y, розподіляємо його на два числа, спочатку отримуємо x:

x = 8 - y = 8 - 4 = 4

Таким чином, отримали два числа x = 4 та y = 4, для яких сума квадратів набуває найменшого значення.

Підставляемо ці значення у вираз для суми квадратів:

x^2 + y^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32

Отже, найменше значення суми квадратів двох чисел, сума яких дорівнює 8, дорівнює 32.