Question

А(1;-2;3) В(1;10;8) С(1;4;0) D(2;-2;2) извесны координати чотирьох вершин пирамиди ABCD нужно найти 1) довжину AB 2) кут між AB та BC 3) площу трикутника АВС 4) обьем пирамиды 5) довжину висоты DH пирамиды проведёную до плоскости АВС

Answer 1

Задано четыре точки А(1;-2;3), В(1;10;8), С(1;4;0), D(2;-2;2).

Найти:

1) довжину AB

2) кут між AB та BC

3) площу трикутника АВС

4) обьем пирамиды

5) довжину висоты DH пирамиды проведёную до плоскости АВС.

1) Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Находим координаты вектора АВ по точкам А(1;-2;3), В(1;10;8).

АВ = (1-1; 10-(-2); 8-3) = (0; 12; 5).

Длина АВ = √(02 + 122 + 52)  = √(0 + 144 + 25) = √169 = 13.

2) Угол между сторонами треугольника АВ и ВС это угол В.

Вектор ВА имеет обратные знаки по сравнению с вектором АВ.

ВА = (0; -12; -5).

Находим координаты вектора ВС по точкам В(1;10;8) С(1;4;0).

ВС = (1-1; 4-10; 0-8) = (0; -6; -8).

Длина ВС = √(02 + (-6)2 + (-8)2)  = √(0 + 36 + 64) = √100 = 10.

cos(ВА_BC) = (0*0+(-12)*(-6)+(-5)*(-8))/(13*10) = (0+72+40)/130 = 112/130 = 56/65.

<(ВА_BC) = arccos(56/65) = 30,51024 градуса.

3) Площадь треугольника АВС находим как половину модуля векторного произведения векторов ВА и ВС

I         j         k|         I          j

0     -12      -5|         0       -12

0      -6       -8|        0        -6   =   96i +0j + 0k – 0j – 30i – 0k = 66i.  

BA*BC = (66; 0; 0).

S(ABC) = (1/2)*√(662 + 02 + 02) = 66/2 = 33 кв. ед.

4) Объем пирамиды находим как (1/6) модуля смешанного произведения векторов AB, AC, AD.

Находим векторы АС и AD: А(1;-2;3), С(1;4;0), D(2;-2;2).

АС = (1-1; 4-(-2); 0-3) = (0; 6; -3).

AD = (2-1; -2-2; 2-3) = (1; -4; -1).

(ABxAC)*AD: =

0     12     5|      0      12

0      6     -3|      0        6

1     -4     -1|      1       -4  = 0 – 36 + 0 – 0 – 0 – 30 = - 66.

V = (1/6)*66 = 11 куб. ед.

5) Довжину висоты DH пирамиды проведёную до плоскости АВС.

DH = 3V/S(ABC) = 3*11/33 = 1.

Answer 2

Для решения задачи нам нужно использовать геометрические свойства пирамиды и трикутников, образованных её боковыми гранями.

Даны четыре вершины пирамиды: \[ A(1, -2, 3) \] \[ B(1, 10, 8) \] \[ C(1, 4, 0) \] \[ D(2, -2, 2) \]

1. Длина AB:

Длина вектора \( \vec{AB} \) вычисляется как разность координат соответствующих точек: \[ \vec{AB} = \langle x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A \rangle \] \[ \vec{AB} = \langle 1 - 1, 10 - (-2), 8 - 3 \rangle = \langle 0, 12, 5 \rangle \]

Длина \( AB \) равна евклидовой норме вектора \( \vec{AB} \): \[ |AB| = \sqrt{0^2 + 12^2 + 5^2} \]

2. Угол между AB и BC:

Используем скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \): \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|AB| \cdot |BC|} \]

\[ \vec{BC} = \langle 1 - 1, 4 - 10, 0 - 8 \rangle = \langle 0, -6, -8 \rangle \]

\[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \cdot 0 + 12 \cdot (-6) + 5 \cdot (-8) \]

\[ |BC| = \sqrt{0^2 + (-6)^2 + (-8)^2} \]

Теперь можно вычислить угол \( \theta \) с использованием арккосинуса.

3. Площадь треугольника ABC:

Мы можем использовать полувекторное произведение двух векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) для нахождения вектора нормали к плоскости ABC, а затем вычислить площадь треугольника по формуле: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | \]

4. Объем пирамиды:

Объем пирамиды с вершиной в точке D и основанием ABC равен одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot |DH| \]

5. Длина высоты DH:

Высоту пирамиды, опущенную из вершины D на плоскость ABC, можно найти как проекцию вектора \( \vec{AD} \) на вектор нормали к плоскости ABC. Таким образом: \[ |DH| = \frac{\vec{AD} \cdot \text{нормаль к ABC}}{|\text{нормаль к ABC}|} \]

Следует отметить, что для расчетов нужно будет учитывать знаки, так как вы можете получить отрицательные значения координат, что может влиять на результаты расчетов.