Question

Из одного пункта выходят две дороги под углом 60° друг к другу. Сначала по одной из них выходит первый пешеход, а через 1 ч по другой дороге – второй пешеход. Их скорости постоянны. Через два часа после выхода второго пешехода расстояние между ними равнялось (под корень)73 км, а еще через 1 ч – 12 км. Найти скорости пешеходов. ​

Answer 1

Ответ:

Скорость первого 3 км/ч , второго 4 км/ч.

Пошаговое объяснение:

х -скорость второго пешехода, у -первого.

По теореме косинусов два уравнения:

4x^2+9y^2-6xy=73

9x^2+16y^2-12xy=144

Здесь учтено, что косинус 60 градусов равен 0,5

Справа квадраты пройденных расстояний (учтено, что в условии корень из 73)

Легко сразу получим

2y^2-x^2=2

Дальше надо решать, но можно заметить х=4 у=3.

Покажем, что это единственное положительное решение.

Действительно, обозначим х=4а и у=3b

Получим  2*9*b^2-16а^2=2   9*b^2-8*а^2=1

второе  уравнение   144*а^2+144* b^2 -144*ab=144

                 a^2+b^2-ab=1  

вычтем его из  9*b^2-8*а^2=1

получим  8a^2-9b^2+ab=0

Поделим последнее  уравнение на  a^2

8+9*(b^2/a^2)+b/a=0

b/a=z

8-9z^2+z=0

z^2-z/9-(8/9)=0

Видим корень  z=1 , значит по теореме Виета  второй корень отрицателен и равен (-8/9)

Поэтому ответ  один :

Скорость первого 3 км/ч , второго 4 км/ч.

Примечание :

Можно было бы сразу решать исходную систему,первое уравнение домножить на 144, а второе на 73. Вычесть одно из другого, разделить на х^2  найти у/х. получить у/х=3/4, подставить в уравнение у=0,75х. Но очень громоздко. Зато можно было не "угадывать" решение.

Answer 2

Давайте обозначим скорость первого пешехода через \( V_1 \), а скорость второго пешехода через \( V_2 \). Также обозначим расстояние, пройденное первым пешеходом за \( t \) часов, как \( D_1 \), а расстояние, пройденное вторым пешеходом за \( t-1 \) час, как \( D_2 \).

Мы знаем, что скорость - это расстояние, поделенное на время. Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

1. Для первого пешехода: \( D_1 = V_1 \cdot t \). 2. Для второго пешехода: \( D_2 = V_2 \cdot (t - 1) \).

Также известно, что через два часа после выхода второго пешехода расстояние между ними составляет \( \sqrt{73} \) км, а еще через один час - 12 км. Это дает нам еще два уравнения:

3. \( D_1^2 + D_2^2 = (\sqrt{73})^2 \) (через два часа). 4. \( (D_1 - 12)^2 + D_2^2 = 0 \) (еще через один час).

Теперь давайте выразим \( D_1 \) и \( D_2 \) через \( V_1 \) и \( V_2 \) с использованием первых двух уравнений:

1. \( D_1 = V_1 \cdot t \). 2. \( D_2 = V_2 \cdot (t - 1) \).

Подставим их в третье уравнение:

3. \( (V_1 \cdot t)^2 + (V_2 \cdot (t - 1))^2 = 73 \).

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

- \( (V_1 \cdot t)^2 + (V_2 \cdot (t - 1))^2 = 73 \) (уравнение 3). - \( (V_1 \cdot t - 12)^2 + (V_2 \cdot (t - 1))^2 = 0 \) (уравнение 4). - \( D_1 = V_1 \cdot t \) (уравнение 1). - \( D_2 = V_2 \cdot (t - 1) \) (уравнение 2).

Решение этой системы уравнений даст значения для \( V_1 \) и \( V_2 \). После решения системы уравнений можно найти скорости пешеходов.