Question

Найти точку, симметричную точке A(−1, 7) относительно прямой L : −2x1+7x2+2 = 0.

Answer 1

В принципе ответ мне удалось угадать устно, но так уж и быть приведу аккуратное решение. Вводя привычные обозначения, записываем уравнение прямой L в виде -2x+7y+2=0. Коэффициенты при x и y дают координаты нормального вектора этой прямой, а заодно координаты направляющего вектора прямой, перпендикулярной  L. Поэтому параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной L, имеют вид

$\dfrac{x+1}{-2}=\dfrac{y-7}{7}=t;\ x=-2t-1;\ y=7t+7.$

Точке A соответствует значение t=0, для нахождения значения t, соответствующего точке пересечения прямых, подставляем в уравнение прямой L найденные выражения x через t:

-2(-2t-1)+7(7t+7)+2=0; 53t+53=0; t=-1,

а тогда точке, симметричной точке A относительно прямой  L, будет соответствовать значение t=-2, откуда x=3; y=-7.

Ответ: (3; - 7)    

Answer 2

Чтобы найти точку, симметричную точке \( A(-1, 7) \) относительно прямой \( L: -2x_1 + 7x_2 + 2 = 0 \), можно воспользоваться формулой для нахождения симметричной точки относительно прямой.

Для этого используем следующий алгоритм:

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через \( A \) и перпендикулярной данной прямой \( L \). Эта прямая будет иметь угол наклона, обратный углу наклона прямой \( L \), так как перпендикулярные прямые имеют противоположные угловые коэффициенты. Уравнение прямой, проходящей через точку \( A(-1, 7) \) и имеющей перпендикулярный угол наклона, будет иметь вид: Угловой коэффициент прямой \( L \) равен \( \frac{7}{2} \) (коэффициент при \( x_1 \)). Угол наклона перпендикулярной прямой будет обратным, то есть \( -\frac{2}{7} \).

Уравнение прямой, проходящей через \( A(-1, 7) \) и имеющей угол наклона \( -\frac{2}{7} \), можно найти, используя уравнение прямой в общем виде: \( y - y_1 = k(x - x_1) \), где \( (x_1, y_1) \) - координаты точки, а \( k \) - угловой коэффициент.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через \( A(-1, 7) \) с углом наклона \( -\frac{2}{7} \), будет:

\[ y - 7 = -\frac{2}{7}(x + 1) \] 2. Найдем точку пересечения прямой \( L \) и прямой, проходящей через \( A(-1, 7) \) и перпендикулярной \( L \). Точка пересечения этих двух прямых будет серединой отрезка между \( A \) и ее симметричной точкой относительно \( L \). Для этого решим систему из уравнения прямой \( L \) и уравнения прямой, проходящей через \( A(-1, 7) \) и имеющей угол наклона \( -\frac{2}{7} \). Найдем координаты точки пересечения.

3. Найдем симметричную точку относительно \( L \), используя найденную точку пересечения и симметрию относительно прямой \( L \).

Давайте найдем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Уравнение прямой через точку \( A(-1, 7) \) с перпендикулярным углом наклона

Уравнение прямой будет:

\[ y - 7 = -\frac{2}{7}(x + 1) \] \[ y = -\frac{2}{7}x - \frac{2}{7} - 7 \] \[ y = -\frac{2}{7}x - \frac{51}{7} \]

Шаг 2: Найдем точку пересечения прямых \( L \) и прямой через \( A(-1, 7) \)

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} -2x_1 + 7x_2 + 2 = 0 \quad \text{(Уравнение прямой L)} \\ y = -\frac{2}{7}x - \frac{51}{7} \quad \text{(Уравнение прямой через точку A)} \end{cases} \]

Подставим уравнение прямой через точку \( A \) в уравнение прямой \( L \):

\[ -\frac{2}{7}x - \frac{51}{7} = -2x_1 + 7x_2 + 2 \]

Решим это уравнение относительно \( x \) и \( y \).

Решение уравнения

\[ -\frac{2}{7}x - \frac{51}{7} = -2x_1 + 7x_2 + 2 \]

Теперь выразим \( x_2 \) через \( x \):

\[ x_2 = \frac{2}{7}x + x_1 - \frac{55}{7} \]

Теперь мы знаем уравнение для \( x_2 \) в зависимости от \( x \). Теперь можем перейти к поиску координат точки пересечения.

Шаг 3: Нахождение координат точки пересечения

Подставим выражение для \( x_2 \) обратно в уравнение прямой через точку \( A \):

\[ y = -\frac{2}{7}x - \frac{51}{7} \]

Теперь можем подставить выражение для \( x_2 \) в уравнение прямой через точку \( A \):

\[ y = -\frac{2}{7}x - \frac{51}{7} \]

Таким образом, координаты точки пересечения будут \( (x, y) \).