Question

На координатной плоскости рисуют треугольник ОАВ, точка пересечения медиан которого находится в точке 17/3, 14/3 , а точки А и В имеют натуральные координаты. Найдите количество таких треугольников. Через О обозначено начало координат - точка с координатами (0, 0); два треугольника с одинаковым набором вершин считаются одинаковыми, то есть ОАВ и ОВА считаем одним и тем же треугольником.

Answer 1

Ответ:

49

Пошаговое объяснение:

Точка пересечения меридиан вычисляется по формуле M((xa+xb+xc)/3;(ya+yb+yc)/3). т.к. xc и yc = 0, то про них забываем. В итоге получаем что (xa+xb)/3=17/3; (ya+yb)/3=14/3; или же xa+xb=17; ya+yb=14; Т.к. точки А и В имеют натуральные координаты, то у нас ограниченное количество таких точек. Треугольники OAB и OBA считаем одним и тем же треугольником => уполовиниваем количество возможных вариантов для x и для y. x[1;7]; y[1;7]; На каждую пару "иксов" - 7 пар "игриков". 7*7=49

Answer 2

Для нахождения количества треугольников с заданными условиями, давайте введем следующие обозначения:

Пусть точки A, B и O имеют координаты: \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), O(0, 0)\). Пусть точка M - точка пересечения медиан треугольника, и её координаты равны \((17/3, 14/3)\).

Медиана, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны, делит её пополам. Таким образом, координаты точки M являются средними значениями координат вершины и середины противоположной стороны:

\[M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

Теперь у нас есть уравнение для точки M:

\[\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{17}{3}, \frac{14}{3}\right)\]

Исходя из условия, что координаты точек A и B - натуральные числа, рассмотрим возможные значения.

Таким образом, мы ищем целочисленные решения уравнения:

\[\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{17}{3}, \quad \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{14}{3}\]

Решая это уравнение, мы можем получить различные комбинации значений \(x_1, x_2, y_1, y_2\), которые соответствуют условиям задачи.

Поскольку треугольники с одинаковым набором вершин считаются одинаковыми, мы должны учесть перестановки вершин. Таким образом, количество уникальных треугольников равно количеству уникальных комбинаций значений \(x_1, x_2, y_1, y_2\) умноженное на количество перестановок трех вершин.

\[Количество\ треугольников = \frac{N!}{k_1! \cdot k_2! \cdot k_3!}\]

где \(N\) - общее количество комбинаций значений, \(k_1, k_2, k_3\) - количество повторений каждого значения (в данном случае, количество повторений для каждой координаты).

Найденное количество треугольников будет ответом на ваш вопрос.