Question

Для каждого натурального числа от 1 до 1000 Дамир отнял от первой цифры последнюю и записал все полученные 1000 разностей на доску. Например, для числа 7 Дамир записал на доску число 0 , для числа 105 записал (−4) , для числа 61 записал 5 . Чему равна сумма всех чисел на доске?​

Answer 1

Ответ:

541

Пошаговое объяснение:

нашел закономерность и решил, олимпиадка

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Для каждого натурального числа от 1 до 1000 Дамир отнимал от первой цифры последнюю и записывал полученные разности на доску. Нам нужно найти сумму всех этих чисел.

Для каждого числа n мы будем вычислять разность между первой и последней цифрой числа. Рассмотрим пример для числа 105:

- Первая цифра: 1 - Последняя цифра: 5 - Разность: 1 - 5 = -4

Таким образом, для числа 105 Дамир записал на доску -4.

Проделаем аналогичные шаги для всех чисел от 1 до 1000 и найдем сумму всех полученных разностей.

Сначала рассмотрим числа, у которых две цифры (от 10 до 99). Для таких чисел разность будет равна разности между первой и последней цифрой.

- Для 10: 1 - 0 = 1 - Для 11: 1 - 1 = 0 - Для 12: 1 - 2 = -1 - ... - Для 98: 9 - 8 = 1 - Для 99: 9 - 9 = 0

Таким образом, сумма разностей для двузначных чисел будет равна 1 + 0 + (-1) + ... + 1 + 0 = 0.

Теперь рассмотрим трехзначные числа (от 100 до 999). Для таких чисел разность будет равна разности между первой и последней цифрой.

- Для 100: 1 - 0 = 1 - Для 101: 1 - 1 = 0 - Для 102: 1 - 2 = -1 - ... - Для 998: 9 - 8 = 1 - Для 999: 9 - 9 = 0

Таким образом, сумма разностей для трехзначных чисел также будет равна 1 + 0 + (-1) + ... + 1 + 0 = 0.

Теперь сложим суммы для двузначных и трехзначных чисел: 0 + 0 = 0.

Таким образом, сумма всех чисел на доске, записанных Дамиром, равна 0.