Question

Для каждого натурального числа от 1 до 997 Дамир отнял от первой цифры последнюю и записал все полученные 997 разностей на доску. Например, для числа 7 Дамир записал на доску число 0, для числа 105 записал (−4), для числа 61 записал 5. Чему равна сумма всех чисел на доске?

Answer 1

Ответ:

572

Пошаговое объяснение:

По закономерности сумма от 100 до 199 =-270  от 200 до 299  = -250 от 300 до 399 = -150 и тд (с каждой сотней увеличивается на 100)так от 100 до 999 получается 530 сумма ,но надо до 997 поэтому  999=0  998=1 997=2  0+1+2=3  530-3=527 .Теперь считаем от 0 до 99.От 0 до 9 можно не учитывать т.к 0 -0 =0 ,1-1=0 2-2=0.А вот от 10 до 19 получается -35,от 20 до 29 получается -25,видим закономерность что увеличивается на 10 ,так получается от 0 до 99 сумма 45.Ответ 527+45=572.

Answer 2

Давайте рассмотрим процесс, описанный в задаче для числа x. Дамир отнимает от первой цифры последнюю, что эквивалентно выражению (x // 10 - x % 10). Например, для числа 105: (105 // 10 - 105 % 10) = (10 - 5) = 5.

Теперь, чтобы найти сумму всех чисел на доске, давайте сложим все эти разности для чисел от 1 до 997:

\[ \sum_{x=1}^{997} (x // 10 - x \% 10) \]

Преобразуем это выражение:

\[ \sum_{x=1}^{997} (x // 10) - \sum_{x=1}^{997} (x \% 10) \]

Теперь рассмотрим каждую из сумм:

1. Сумма цифр десятков (x // 10): \[ \sum_{x=1}^{997} (x // 10) = 0 + 0 + 0 + ... + 9 + 9 + 9 = 9 \cdot \sum_{k=1}^{99} k \] Это сумма арифметической прогрессии, где \( \sum_{k=1}^{99} k \) - сумма чисел от 1 до 99. Формула суммы такой прогрессии: \( \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \), где n - количество членов прогрессии. В данном случае \( n = 99 \), поэтому: \[ 9 \cdot \sum_{k=1}^{99} k = 9 \cdot \frac{99 \cdot 100}{2} \]

2. Сумма единиц (x \% 10): \[ \sum_{x=1}^{997} (x \% 10) = 1 + 2 + 3 + ... + 9 + 0 + 1 + 2 + ... + 9 + 0 + ... + 6 + 7 + 8 + 9 \] Это сумма от 0 до 9 повторенная 99 раз (для каждого десятка). Сумма от 0 до 9 - тоже арифметическая прогрессия, поэтому: \[ \sum_{x=1}^{997} (x \% 10) = 9 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} \]

Теперь сложим обе суммы:

\[ 9 \cdot \frac{99 \cdot 100}{2} - 9 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} \]

Упростим выражение:

\[ 9 \cdot \frac{99 \cdot 100 - 9 \cdot 10}{2} \]

\[ 9 \cdot \frac{9900 - 90}{2} \]

\[ 9 \cdot \frac{9810}{2} \]

\[ 9 \cdot 4905 \]

\[ 44145 \]

Таким образом, сумма всех чисел на доске равна 44145.