Question

знайти відстань між двома паралельними площинами і записати рівняння площини рівновіддаленої від цих площин Паралельні площини : у-6z-13=0 -3y+18z+8=0​

Answer 1

Вычислим расстояние между плоскостями

y - 6z - 13 = 0 и  - 3y + 18z + 8 = 0.

Проверим, параллельны ли плоскости, для этого умножим уравнение второй плоскости на -1/3

y - 6z - (8/3) = 0.

Так как коэффициенты при переменных в уравнениях равны, то плоскости параллельны и для вычисления расстояния между плоскостями используем формулу:

d =     |D2 - D1|    

   √(A² + B² + C²)  

Подставим в формулу данные:

d =   |(-8/3) - (-13)| / √(0² + 1² + (-6)²) =

 =   |31/3| / √(0 + 1 + 36)   =

=   (31/3) / √37 =

=   31√37   ≈ 1,6988.

         111

 Плоскость, равно удалённая от двух заданных, имеет свободный член уравнения, равный полусумме таковых у заданных плоскостей.

D3 = D2 + D1    =   |(-8/3) + (-13)|    = -47/6.

             2                      2    

Искомое уравнение плоскости:  y - 6z - (47/6) = 0.

Answer 2

Щоб знайти відстань між двома паралельними площинами та записати рівняння площини, рівновіддаленої від цих площин, спочатку обчислимо нормальні вектори для обох площин.

Для першої площини у=-6z-13=0: Рівняння можна представити у вигляді Ax + By + Cz + D = 0, де A, B, C - коефіцієнти перед x, y, z. У нашому випадку A = 0, B = 0, C = -6, D = -13.

Таким чином, нормальний вектор для першої площини - це вектор [A, B, C] = [0, 0, -6].

Для другої площини -3y + 18z + 8=0: Рівняння вже виглядає відповідно до Ax + By + Cz + D = 0, де A = 0, B = -3, C = 18, D = 8. Таким чином, нормальний вектор для другої площини - це вектор [A, B, C] = [0, -3, 18].

Відстань між площинами дорівнює відстані між їх нормальними векторами. Ця відстань може бути знайдена за допомогою формули:

\[d = \dfrac{|D1 - D2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.\]

де D1 і D2 - константи в рівняннях площин.

Застосуємо цю формулу для наших площин:

\[d = \dfrac{|(-13) - 8|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + (-6)^2}} = \dfrac{|-21|}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}.\]

Таким чином, відстань між площинами дорівнює \(\dfrac{7}{2}\).

Тепер давайте знайдемо рівняння площини, яка рівновіддалена від цих двох площин. Це можна зробити, скориставшись середнім значенням D1 і D2, і обираючи або знак "+", або "-", залежно від того, в якому напрямку ми рухаємось від першої площини до другої. Однак, я не маю конкретної інформації про напрямок, тому я розгляну два варіанти:

1. Знак "+":

\[D_{\text{нової}} = \dfrac{D1 + D2}{2} = \dfrac{(-13) + 8}{2} = -\dfrac{5}{2}.\]

Отже, рівняння нової площини буде \(0x + 0y - 6z - \dfrac{5}{2} = 0\), або просто \(-6z = \dfrac{5}{2}\).

2. Знак "-":

\[D_{\text{нової}} = \dfrac{D1 - D2}{2} = \dfrac{(-13) - 8}{2} = -\dfrac{21}{2}.\]

Отже, рівняння нової площини буде \(0x + 0y - 6z + \dfrac{21}{2} = 0\), або просто \(-6z = -\dfrac{21}{2}\).

Обирайте один з цих варіантів відповідно до конкретного контексту задачі.