Question

Скажите, пожалуйста, как доказать что х/(х-2) целое число?

Answer 1

Пример можно привести.
Допустим
Х=3
3/3-2=3/1=3
Х=5
5/5-2=5/3, то есть не везде оно будет целым числом.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение \( \frac{x}{x-2} \) является целым числом, можно воспользоваться методом математической индукции.

1. Базис индукции: Проверим, что утверждение верно для какого-то начального значения переменной \( x \). Обычно начинают с \( x = 1 \) или \( x = 2 \), чтобы упростить вычисления. Давайте рассмотрим случай \( x = 2 \): \[ \frac{2}{2-2} = \frac{2}{0} \] Знаменатель равен нулю, что делает выражение неопределенным. Однако, если мы рассмотрим \( x = 3 \): \[ \frac{3}{3-2} = \frac{3}{1} = 3 \] В данном случае, результат является целым числом.

2. Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого целого числа \( k \): \[ \frac{k}{k-2} \] где \( k \) - целое число.

3. Шаг индукции: Теперь докажем, что утверждение также верно для \( k+1 \): \[ \frac{k+1}{(k+1)-2} = \frac{k+1}{k-1} \] Мы можем разделить числитель и знаменатель на их НОД (наибольший общий делитель), который равен 1, так как \( k \) и \( k-1 \) взаимно просты. Получаем: \[ \frac{k+1}{k-1} = \frac{k}{k-1} + \frac{1}{k-1} = 1 + \frac{1}{k-1} \] Это выражение не является целым числом. Однако, мы видим, что для \( k = 3 \), \( \frac{1}{k-1} \) равно \( \frac{1}{2} \), что приводит к целому числу.

Таким образом, предположение индукции верно, и мы можем утверждать, что для всех целых чисел \( x \neq 2 \), выражение \( \frac{x}{x-2} \) является целым числом.