Question

Y1-2y-3=0 линейное дифференциальное уравнение

Answer 1

у1-2у-3=0

у=-3

жвжыжыдыды

Answer 2

Конечно, давайте разберемся с линейным дифференциальным уравнением, которое вы предложили: \(Y'' - 2Y' - 3 = 0\).

Это уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий вид такого уравнения:

\[aY'' + bY' + cY = 0\],

где \(a\), \(b\), и \(c\) - константы. В вашем уравнении \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -3\).

Для решения такого уравнения, предположим, что решение имеет вид \(Y = e^{rt}\), где \(r\) - неизвестная константа. Затем мы найдем производные \(Y'\) и \(Y''\) по времени \(t\) и подставим их в исходное уравнение.

1. Найдем \(Y'\) и \(Y''\):

\[Y' = r e^{rt}\]

\[Y'' = r^2 e^{rt}\]

2. Подставим их в уравнение:

\[aY'' + bY' + cY = 0\]

\[1 \cdot (r^2 e^{rt}) - 2 \cdot (r e^{rt}) - 3 \cdot (e^{rt}) = 0\]

3. Упростим уравнение:

\[r^2 e^{rt} - 2r e^{rt} - 3e^{rt} = 0\]

4. Разделим уравнение на \(e^{rt}\) (поскольку \(e^{rt} \neq 0\)):

\[r^2 - 2r - 3 = 0\]

5. Решим квадратное уравнение для \(r\):

\[r^2 - 2r - 3 = (r - 3)(r + 1) = 0\]

Отсюда получаем два значения \(r\): \(r_1 = 3\) и \(r_2 = -1\).

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

\[Y(t) = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий задачи.