Question

Найти число корней многочлена х^6-5х^3+7

Answer 1

x⁶-5x³+7=0

x³=y

y²-5y+7=0

D=5²-4•1•7=-3

поэтому уравнение y²-5y+7=0 не имеет решения в действительной области

а следовательно и уравнение x⁶-5x³+7=0

корней у многочлена х⁶-5y+7 нет

можно решить и так:

x⁶-5x³+7=(x³)²-2•2,5•x³+2,5² -2,5²+7=

=(x³+2,5)²+0,75 ≠0 далее решение такое же

Ответ. 0

Answer 2

Чтобы найти число корней многочлена, необходимо решить уравнение, полученное приравнивании многочлена к нулю:

x^6 - 5x^3 + 7 = 0

Это уравнение кубической степени, справа от знака равенства стоит константа, которая не равна нулю. Поэтому, в общем случае, для такого уравнения существует по крайней мере один корень.

Однако, в данном конкретном случае, найти точное аналитическое выражение для корней этого уравнения достаточно сложно. Поэтому рассмотрим возможные способы определить приблизительное число корней.

1. Используем графический метод. Можно построить график функции y = x^6 - 5x^3 + 7 и посмотреть, сколько раз график пересекает ось Ox (y = 0). Количество пересечений будет соответствовать числу корней.

2. Применяем теорему Безу. Если коэффициенты многочлена x^6 - 5x^3 + 7 являются целыми числами, то все его целочисленные корни должны быть делителями свободного члена 7. Проверяем, какие числа являются делителями 7: ±1, ±7. Если хотя бы одно из этих чисел является корнем, то находим остаток от деления многочлена на (x ± a), где а - найденный корень. Если остаток равен нулю, то число а является корнем многочлена, иначе - не является.

3. Применяем метод Ньютона. Метод Ньютона позволяет находить приближенное значение корня уравнения или нуля функции. Таким образом, можно выбрать начальное приближение и применить метод Ньютона для нахождения корней данного уравнения. Если метод сходится, то каждая полученная точка будет приближенным значением корня.

В общем случае, для полиномов заданной степени существует столько корней, сколько степеней имеет полином (в данном случае 6). Однако, не все корни обязательно будут вещественными числами. Их тип (вещественные или комплексные) зависит от коэффициентов многочлена и использования комплексных чисел при решении уравнений.