Question

Известно, что числа а, b, √a-√b - рациональные. Докажите, что √а и √ b - тоже рациональные числа.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

ну если вычитание между корнями дает рациональный ответ,то значит что и: a, bтоже рациональные. например возьмем

под корнем 7 - под корнем 2 то получится под корнем 5. и под корнем 5 само рациональное число

Answer 2

Для доказательства того, что √a и √b являются рациональными числами, мы можем использовать метод доказательства от противного. Допустим, что √a и √b являются иррациональными числами.

Предположим, что √a является иррациональным числом. Значит, оно не может быть представлено в виде дроби a/b, где a и b являются целыми числами и b ≠ 0. То есть, √a не может быть представлено в виде рационального числа.

Аналогично, предположим, что √b является иррациональным числом и не может быть представлено в виде рационального числа.

Теперь рассмотрим выражение √a - √b. Если предположить, что оба √a и √b являются иррациональными числами, то √a - √b также будет иррациональным числом. Однако, у нас есть информация о том, что √a - √b является рациональным числом. Это противоречие, которое указывает на то, что наше предположение было неверным.

Следовательно, мы можем заключить, что хотя бы одно из чисел √a или √b является рациональным числом.

Заметим, что √a + √b = (√a - √b) + 2√b. Из нашего предыдущего рассуждения мы знаем, что √a - √b является рациональным числом. Также заметим, что 2√b является иррациональным числом, так как √b является иррациональным числом.

Таким образом, (√a + √b) = (√a - √b) + 2√b является суммой рационального и иррационального чисел, что приводит к выводу, что (√a + √b) является иррациональным числом.

Однако, у нас есть информация о том, что (√a + √b) является рациональным числом. Это также противоречие, которое указывает на то, что наше предположение о том, что √a и √b являются иррациональными числами, было неверным.

Следовательно, мы можем заключить, что √a и √b являются рациональными числами.

Это завершает доказательство. √a и √b являются рациональными числами, если a, b и √a - √b являются рациональными числами.