Question

Бак с квадратным основанием должен вмещать 125 л. Каковы должны быть его размеры, чтобы полная поверхность была наименьшей? В ответе укажите наибольший размер

Answer 1

Ответ:

0.5 м

Пошаговое объяснение:

125 л = 0.125 м³

V=0.125 м³

V=S*h

V- объем параллелепипеда

S - площадь основания

h - высота

Площадь квадратного основания = а², а - сторона основания

0.125 |5

 0.25 |5

   0.5 |5

      1

a=0.5 м

S=0.5²=0.25 м²

V=0.25*0.5=0.125 м³

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом математического анализа. Давайте обозначим стороны квадратного основания бака через \( x \), тогда его объем будет равен \( V = x^2 \cdot h \), где \( h \) - высота бака.

Условие задачи гласит, что объем бака должен быть равен 125 литрам, то есть \( x^2 \cdot h = 125 \).

Также нам нужно минимизировать полную поверхность бака. Полная поверхность бака состоит из боковой поверхности и двух оснований. Боковая поверхность бака равна \( S_{\text{бок}} = 4xh \), а площадь двух оснований равна \( S_{\text{осн}} = 2x^2 \). Таким образом, полная поверхность бака будет \( S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} \).

Теперь мы можем выразить высоту \( h \) через \( x \) из уравнения объема:

\[ h = \frac{125}{x^2} \]

Подставим это выражение для высоты в формулу для полной поверхности и упростим:

\[ S_{\text{полн}} = 4x \cdot \frac{125}{x^2} + 2x^2 = \frac{500}{x} + 2x^2 \]

Теперь нам нужно найти минимум этой функции. Для этого найдем производную \( S_{\text{полн}} \) по \( x \) и приравняем ее к нулю:

\[ \frac{dS_{\text{полн}}}{dx} = -\frac{500}{x^2} + 4x \] \[ 0 = -\frac{500}{x^2} + 4x \]

Умножим обе стороны на \( x^2 \):

\[ 0 = -500 + 4x^3 \]

Теперь приравняем полученное уравнение к нулю и решим относительно \( x \):

\[ 4x^3 = 500 \] \[ x^3 = 125 \] \[ x = 5 \]

Таким образом, наибольший размер бака с квадратным основанием, который вмещает 125 литров, равен 5 метрам. Высота бака будет равна:

\[ h = \frac{125}{5^2} = \frac{125}{25} = 5 \]

Таким образом, размеры бака должны быть 5 метров на 5 метров на 5 метров для минимизации полной поверхности.