Question

25 БАЛОВ! Написати рівняння прямої 2x – y + 1 = 0, що проходить через точку М(-1;2) перпендикулярно до заданої прямої і знайти їх точку перетину;

Answer 1

Будем считать, что задание дано так:

Написати рівняння прямої , що проходить через точку М(-1;2) перпендикулярно до заданої прямої  2x – y + 1 = 0 і знайти  точку їх перетину.

Заданная прямая дана в общем виде Ах + Ву + С = 0.

У перпендикулярной прямой коэффициенты А и В меняются на -В и А.

Получаем х + 2у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки М(-1; 2), через которую проходит перпендикулярная прямая.

-1 + 2*2 + С  = 0, С = 1 - 4 = -3.

Уравнение перпендикуляра через точку М: х + 2у - 3 = 0.

Для определения точки пересечения прямых надо решить систему:

{2x – y + 1 = 0 |x(2) =  4x - 2y + 2 = 0

{х + 2у - 3= 0               х + 2у - 3 = 0  

                                    5x        - 1 = 0.

x = 1/5 = 0,2, y = 2x + 1 = 2*(1/5) + 1 = 7/5 = 1,4.  

Answer 2

Щоб знайти рівняння прямої, яка проходить через точку М(-1;2) і перпендикулярна до заданої прямої, спочатку знайдемо загальне рівняння заданої прямої.

Задане рівняння прямої: 2x - y + 1 = 0

Оскільки шукана пряма є перпендикулярною до заданої прямої, то їхні коефіцієнти напряму мають обернений знак. Тому, коефіцієнт перед x має бути оберненим до коефіцієнта перед y у заданому рівнянні.

Таким чином, коефіцієнт перед x у шуканому рівнянні буде -1, а перед y -2.

Отже, загальне рівняння шуканої прямої має вигляд -x - 2y + c = 0, де c - невідома константа.

Далі, підставимо координати точки М(-1;2) у загальне рівняння прямої:

-(-1) - 2(2) + c = 0

1 - 4 + c = 0

c - 3 = 0

Отримали, що c = 3.

Отже, рівняння шуканої прямої має вигляд -x - 2y + 3 = 0.

Для знаходження точки перетину шуканої прямої і заданої прямої, потрібно розв'язати систему рівнянь:

- x - 2y + 3 = 0 2x - y + 1 = 0

Можемо виразити x з другого рівняння та підставити його у перше рівняння:

2x = y - 1 - x - 2y + 3 = 0

- (y - 1) - 2y + 3 = 0 - y + 1 - 2y + 3 = 0 -3y + 4 = 0 3y = 4 y = 4 / 3

Підставимо отримане значення y у друге рівняння:

2x - (4 / 3) + 1 = 0 2x - 4 / 3 = -1 2x = -1 + 4 / 3 2x = -1 / 3 x = (-1 / 3) / 2 x = -1 / 6

Отже, точка перетину шуканої прямої і заданої прямої має координати x = -1 / 6 і y = 4 / 3.