Question

СРОЧНО!!! Десять футболістів, шкільної збірної команди, забили разом 61 гол. Відомо, що кожен із них забив принаймні 1 гол, а один із них - 15 голів сам. Доведіть, що принаймні, двоє із них забили однакову кількість голів. ​

Answer 1

Відповідь:

Є два випадки:

1) Якщо 8 фітболістів забили відповідно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та 8 голів, а 9 забив 10 голів, то всі футболісти забили різні кількість голів.

2) У будь якому іншому випадку принаймі два футболіста забили рівну кількість голів.

Покрокове пояснення:

Якщо один футболіст сам забив 15 голів, то всі інші 10 футболістів забили 61 - 10 = 46 голів. Припустимо, що всі інші 9 футболістів забили різну кількість голів, у такому випадку вони разом забили би:

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 голів

Але ми вирахували, що вони разом забили 46 голів, відповідно один із футболістів забив на один гол більше ніж ми припустили.

Є два випадки:

1) Якщо фітболіст про якого ми припустили, що він забив 9 голів насправді забив 10 голів, то всі футболісти забили різні кількість голів.

2) У будь якому іншому випадку принаймі два футболіста забили рівну кількість голів.

Answer 2

Припустимо, що жодні два футболісти не забили однакову кількість голів. Тоді, найбільша кількість голів, яку забив один гравець, буде менша за загальну кількість голів команди (61).

Знаємо, що один з футболістів забив 15 голів самостійно. Отже, найбільша кількість голів, яку можуть забити решта гравців, становить (61-15) = 46.

Тепер розглянемо ситуацію, коли кожен з решти 9 гравців забив по 1 голу. Загальна кількість голів в цьому випадку становить 15 + 9 = 24.

Очевидно, що 24 менше за 46. Тому, якщо всі гравці, крім одного, забили по 1 голу, то є ще хоча б один гравець, який забив більше 1 голу. Таким чином, припущення неправильне.

Отже, є щонайменше два гравці, які забили однакову кількість голів.