Question

При каком наибольшем натуральном n многочлен f(x)=xn+…+300 степени n с целыми коэффициентами может иметь ровно n различных целочисленных корней? Решите пожалуйста Срочно!!!

Answer 1

Ответ:

n = 6

Пошаговое объяснение:

По обобщенной теореме Виета, если старший коэффициент равен 1, то произведение корней равно свободному члену:

x1*x2*...*xn = 300 = 1*2*2*3*5*5 = 1*(-1)*2*(-2)*3*25

Корни: x1 = 1, x2 = -1, x3 = 2, x4 = -2, x5 = 3, x6 = 25

Так что решение: 6 корней.

Answer 2

Давайте разберемся с вашим вопросом.

Пусть у нас есть многочлен \(f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0\), где все коэффициенты \(a_i\) являются целыми числами.

Мы знаем, что если \(r\) - целочисленный корень многочлена, то \(f(r) = 0\). Таким образом, \(r^n + a_{n-1}r^{n-1} + \ldots + a_1r + a_0 = 0\).

Если \(r\) - корень, то \((x - r)\) является множителем многочлена. Таким образом, мы можем записать:

\[f(x) = (x - r_1)(x - r_2)\ldots(x - r_n)\]

где \(r_1, r_2, \ldots, r_n\) - все различные целочисленные корни многочлена.

Теперь, когда у нас есть это представление многочлена, мы можем рассмотреть, как многочлен выглядит в виде произведения множителей.

Если у нас есть ровно \(n\) различных целочисленных корней, то каждый из множителей \((x - r_i)\) дает нам степень 1. Таким образом, степень многочлена будет равна \(n\).

Таким образом, наибольшая степень многочлена равна количеству его различных целочисленных корней. В вашем случае, \(n\) - наибольшая степень многочлена, и он имеет ровно \(n\) различных целочисленных корней.

В заключение, ответ на ваш вопрос: при наибольшем натуральном \(n\) многочлен \(f(x) = x^n + \ldots + 300\) степени \(n\) с целыми коэффициентами может иметь ровно \(n\) различных целочисленных корней.