Question

Известно, что cosα+cosβ+cosγ=√1/5 sinα+sinβ+sinγ=√4/5 Найдите cos(α−β)+cos(β−γ)+cos(γ−α) Пожалуйста, помогите

Answer 1

Ответ:

-1

Пошаговое объяснение:

Возведём оба равенства в квадрат:

$(\cos{\alpha}+\cos{\beta}+\cos{\gamma})^2=\sqrt{\dfrac{1}{5}}^2\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\cos^2{\gamma}+2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\beta}\cos{\gamma}+\cos{\gamma}\cos{\alpha})=\dfrac{1}{5}\\(\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma})^2=\sqrt{\dfrac{4}{5}}^2\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}+\sin^2{\gamma}+2(\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{\beta}\sin{\gamma}+\sin{\gamma}\sin{\alpha})=\dfrac{4}{5}$

Сложим оба равенства:

$\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}+\cos^2{\beta}+\sin^2{\beta}+\cos^2{\gamma}+\sin^2{\gamma}+2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\\+\sin{\alpha}\sin{\beta}+\cos{\beta}\cos{\gamma}+\sin{\beta}\sin{\gamma}+\cos{\gamma}\cos{\alpha}+\sin{\gamma}\sin{\alpha})=\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 1+1+1+2(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\beta-\gamma)}+\cos{(\gamma-\alpha)})=1\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 2(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\beta-\gamma)}+\cos{(\gamma-\alpha)})=-2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\beta-\gamma)}+\cos{(\gamma-\alpha)}=-1$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и найдем значения выражений cos(α-β), cos(β-γ) и cos(γ-α).

Известно: 1. cos(α)cos(β) + cos(γ) = √(1/5) 2. sin(α)sin(β) + sin(γ) = √(4/5)

Мы можем воспользоваться формулами для синуса и косинуса разности углов:

1. cos(α-β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β) 2. cos(β-γ) = cos(β)cos(γ) + sin(β)sin(γ) 3. cos(γ-α) = cos(γ)cos(α) + sin(γ)sin(α)

Теперь подставим данные значения:

1. cos(α-β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β) = √(1/5) 2. cos(β-γ) = cos(β)cos(γ) + sin(β)sin(γ) = ? (мы еще не знаем этого значения) 3. cos(γ-α) = cos(γ)cos(α) + sin(γ)sin(α) = ? (мы еще не знаем этого значения)

Теперь нам нужно найти значения cos(β-γ) и cos(γ-α). Для этого мы можем воспользоваться следующими уравнениями:

cos(β-γ) = cos(β)cos(γ) + sin(β)sin(γ) cos(γ-α) = cos(γ)cos(α) + sin(γ)sin(α)

Известно, что sin(γ) = √(4/5), так как sin(γ) = √(4/5). А также из уравнения (1) известно, что cos(α)cos(β) = √(1/5).

Теперь мы можем решить уравнения:

cos(β-γ) = √(1/5)cos(γ) + √(4/5)sin(γ) cos(γ-α) = √(1/5)cos(α) + √(4/5)sin(α)

Подставим известные значения:

cos(β-γ) = √(1/5)cos(γ) + √(4/5)√(4/5) cos(γ-α) = √(1/5)cos(α) + √(4/5)√(4/5)

Теперь вычислим:

cos(β-γ) = √(1/5)cos(γ) + √(16/25) cos(γ-α) = √(1/5)cos(α) + √(16/25)

Сократим дроби:

cos(β-γ) = √(1/5)cos(γ) + √(4/5) cos(γ-α) = √(1/5)cos(α) + √(4/5)

Теперь мы можем вычислить значения cos(β-γ) и cos(γ-α), используя данные значения.