Question

Cos(α-β)+sin(-α)sinβ=cosα×cosβ sin(α+β)+sin(-α)cos(-β)=cosα×sinβ Доведіть тотожнтотожність Докажите тождество

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Cos(α-β)=CosαCosβ+sinαsinβ; sin(-α)=-sin(α)

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;  cos(-β)=cosβ

Cos(α-β)+sin(-α)sinβ=CosαCosβ+sinαsinβ-sinαsinβ=cosα×cosβ

sin(α+β)+sin(-α)cos(-β)=cosα×sinβ

sin(α+β)+sin(-α)cos(-β)=sinαcosβ+cosαsinβ -sinαcosβ=cosαsinβ

Answer 2

Давайте докажемо ці два тождества по черзі:

1. Для тождества cos(α-β) + sin(-α)sin(β) = cos(α)cos(β):

Почнемо з лівої сторони:

cos(α-β) + sin(-α)sin(β)

Використовуючи формулу різниці косинусів та синусів, отримаємо:

[cosαcosβ + sinαsinβ] + [sinαsinβ] (так як sin(-x) = -sin(x))

Згрупуємо подібні терміни:

cosαcosβ + 2sinαsinβ

Тепер права сторона:

cosαcosβ

Як ми бачимо, ліва сторона та права сторона рівні одна одній, тому тождество доведено.

2. Для тождества sin(α+β) + sin(-α)cos(-β) = cos(α)sin(β):

Почнемо з лівої сторони:

sin(α+β) + sin(-α)cos(-β)

Використовуючи формули суми синусів та косинусів, отримаємо:

[sinαcosβ + cosαsinβ] + [-sinαcosβ] (так як sin(-x) = -sin(x) та cos(-x) = cos(x))

Згрупуємо подібні терміни:

sinαcosβ + cosαsinβ - sinαcosβ

Тепер права сторона:

cosαsinβ

Як ми бачимо, ліва сторона та права сторона рівні одна одній, тому і це тождество доведено.

Таким чином, були доведені обидва тождества.