Question

Помогите пожалуйста решить неравенство с помощью рационализации logx^2(x-2)^2>=1

Answer 1

Ответ:

ОДЗ:

{x/2 > 0, x/2≠1 ⇒ x > 0; x≠2

{x2–2x+1 > 0 ⇒ x≠1

ОДЗ: х ∈ (0; 1) U (1;2) U (2;+ ∞)

Перепишем неравенство в виде:

logx/2 (x2–2x+1) ≥ logx/2 (x/2)2

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств (см. таблицу):

((x/2)–1)·(x2–2x+1–(x/2)2) ≥ 0;

(x–1)·(3x2–8x+4)/8 ≥ 0

3х2–8x+4=0

D=64–4·3·4=16

x=(8–4)/6=2/3 или х=(8+4)/6=2

(х–(2/3))(x–2)2/8 ≥ 0

Учитывая ОДЗ получаем ответ:

(0)_–__ [2/3] __+__ (1) ___+__ (2) __+___

x∈[2/3;1)U(1;2)U(2;+ ∞)

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство с помощью рационализации, сначала перепишем его в эквивалентной форме без логарифма:

log(x^2(x-2)^2) >= 1

Затем применим свойство логарифма, согласно которому log(a^b) = b*log(a):

2log(x) + 2log(x-2) >= 1

Теперь объединим логарифмы:

log(x^2) + log((x-2)^2) >= 1

Воспользуемся свойством логарифма log(a) + log(b) = log(a*b):

log(x^2*(x-2)^2) >= 1

Возводим обе части неравенства в экспоненту с основанием e (натуральный логарифм):

e^(log(x^2*(x-2)^2)) >= e^1

x^2*(x-2)^2 >= e

Раскрываем скобки:

x^2 * (x^2 - 4x + 4) >= e

x^4 - 4x^3 + 4x^2 >= e

Теперь можем решить данное квадратное неравенство, приведя его к нулевому виду:

x^4 - 4x^3 + 4x^2 - e >= 0

Данное уравнение не имеет простого аналитического решения, поэтому для его решения можно использовать численные методы или графический метод.