Question

Найдите уравнение геометрического места точек, сумма расстояний каждой из которых от точки (12; 0) и от точки (-12; 0) равно 12√5. Определитепараметры и полярное уравнение кривой.

Answer 1

Из условий задания определяем, что заданное геометрическое место точек - это эллипс по его определению:

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть постоянная величина, которая больше расстояния между фокусами.

Центр эллипса совпадает с началом координат (это следует из симметрии фокусов на оси Ох)

Также находим расстояние от центра до фокусов: с = 12 и расстояние от центра до вершин эллипса на главной оси а = (r1 + r2)/2 = 12√5/2 = 6√5.

Найдём величину b = √(a² - c²) = √((6√5)² - 12²) = √(180 - 144) = √36 = 6.

Это длина малой полуоси.

Получаем каноническое уравнение эллипса: (x²/a²) + (y²/b²) = 1.

(x²/(6√5)²) + (y²/6²) = 1.

Переходим к уравнению в полярной системе координат.

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид:

r = p / (1 ± ε cos ϕ),  p = b²/a, ε = c/a < 1.

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.

Примем полюс в левом фокусе, находим p = 6²/(6√5) = 6/√5 = 6√5/5.

e = 12/(6√5) = 2/√5 = 2√5/5 и подставляем в уравнение:

r = (6√5/5) / (1 - (2√5/5)* cos ϕ) = (6√5) / (5 - 2√5)* cos ϕ).

Ответ: r = (6√5) / (5 - 2√5)* cos ϕ).

Answer 2

Уравнение геометрического места точек

Для нахождения уравнения геометрического места точек, сумма расстояний каждой из которых от точки (12, 0) и от точки (-12, 0) равна 12√5, мы можем использовать определение эллипса.

Эллипс - это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фокусов эллипса постоянна. В данном случае, фокусами являются точки (12, 0) и (-12, 0), и сумма расстояний от каждой точки на геометрическом месте до этих фокусов равна 12√5.

Параметры эллипса

Для нахождения параметров эллипса, мы можем использовать следующие формулы: - Абсцисса центра эллипса: x₀ = (x₁ + x₂) / 2 - Ордината центра эллипса: y₀ = (y₁ + y₂) / 2 - Длина большой полуоси: a = d / 2, где d - расстояние между фокусами эллипса - Длина малой полуоси: b = √(c² - a²), где c - расстояние от центра эллипса до фокусов

В данном случае: - x₁ = 12, x₂ = -12 - y₁ = 0, y₂ = 0 - d = 12√5

Подставляя значения в формулы, получим: - x₀ = (12 + (-12)) / 2 = 0 - y₀ = (0 + 0) / 2 = 0 - a = (12√5) / 2 = 6√5 - c = 12 - b = √(12² - (6√5)²) = √(144 - 180) = √(-36) = 6i, где i - мнимая единица

Таким образом, параметры эллипса равны: - Центр: (0, 0) - Большая полуось: 6√5 - Малая полуось: 6i

Полярное уравнение эллипса

Полярное уравнение эллипса имеет следующий вид: r(θ) = d / (1 + ε * cos(θ - φ))

где: - r - расстояние от центра эллипса до точки на эллипсе - θ - угол между положительным направлением оси x и лучом, проведенным от центра эллипса до точки на эллипсе - ε - эксцентриситет эллипса, определяется как ε = c / a - φ - угол между осью x и осью симметрии эллипса

В данном случае: - Центр: (0, 0) - a = 6√5 - c = 12

Вычислим эксцентриситет эллипса: ε = c / a = 12 / (6√5) = 2 / √5 = (2√5) / 5

Учитывая, что центр эллипса находится в начале координат (0, 0), φ = 0.

Таким образом, полное полярное уравнение эллипса будет: r(θ) = 12 / (1 + (2√5 / 5) * cos(θ))