Question

Докажите, что число `5^(72)-1` делится на `31`. Помогите пж

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

5^72 - 1 = (5^3)^24 - 1 = 125^24 - 1 = (4*31 + 1)^24 - 1 = N

В разложении скобки (4*31 + 1)^24 все слагаемые делятся на 31, кроме последнего 1. Получаем:

N = (4*31 + 1)^24 - 1 = 31*k + 1 - 1 = 31*k

Это число делится на 31 нацело, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что число `5^(72)-1` делится на 31, можно воспользоваться теоремой Ферма.

Теорема Ферма утверждает, что если `p` - простое число, а `a` - целое число, не кратное `p`, то `a^(p-1) - 1` делится на `p`.

В данном случае, `p = 31`, а `a = 5`. Поскольку 5 не кратно 31, то теорема Ферма применима.

Таким образом, нам нужно доказать, что `5^(31-1) - 1` делится на 31.

Вычислим значение `5^(31-1)`:

5^30 = 931322574615478515625

Теперь вычтем 1:

931322574615478515625 - 1 = 931322574615478515624

Как видим, значение `5^(31-1) - 1` не делится на 31 без остатка. Однако, мы можем продолжить возведение в степень, чтобы получить большее значение и проверить, делится ли оно на 31.

Вычислим значение `5^(72-30)`:

5^42 = 9094947017729282379150390625

Теперь вычтем 1:

9094947017729282379150390625 - 1 = 9094947017729282379150390624

Как видим, значение `5^(72-30) - 1` также не делится на 31 без остатка.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что число `5^(72)-1` не делится на 31 без остатка.