Question

Построить гиперболу и найти все ее характеристики, если гипербола сопряжена действительна b=2 мнимая а=3 сопряжена [tex]9x^{2} -9y^{2} +36=0

Answer 1

Две гиперболы называются сопряженными, если они имеют общий центр и общие оси, но действительная ось одной из них является мнимой осью другой. Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты.

Уравнение гиперболы, сопряженной данной:

(y²/b²) - (x²/a²) = 1.

Действительная ось этой гиперболы равна мнимой оси другой.

1) По заданию надо определить характеристики гиперболы, сопряжённой с гиперболой, имеющей полуоси b=2 и а=3.

Такая гипербола имеет уравнение:

(x²/a²) -(y²/b²)  = 1.

Подставим длины полуосей а=3 и b=2.

(x²/3²) - (y²/2²) = 1.

Расстояние от центра до фокуса с = √(3² + 2²) = √(9+4) = √13.

Эксцентриситет e = c/a = √13/3.

Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром. Обозначается р.

p = b²/a = 2²/3 = 4/3.

Директрисы d = +-a/e = +-3/(√13/3) = +-9/√13.

Асимптоты y = +-(b/a)x = +-(2/3)x.

2) Аналогично для второй гиперболы, для которой в задании дано уравнение сопряжённой гиперболы 9x² - 9y² + 36 = 0.

Если привести её к каноническому виду, получим:

(9x²/36) - (9y²/36) = (-36/36).

Получаем (y²/2²) - (x²/2²) = 1.

Для этой сопряжённой гиперболы обычной будет гипербола:

(x²/2²) - (y²/2²) = 1.

Длины полуосей a = b = 2.

Расстояние от центра до фокуса с = √(2² + 2²) = √(4+4) = √8 = 2√2.

Эксцентриситет e = c/a = 2√2/2 = √2.

Фокальный параметр p = b²/a = 2²/2 = 2.

Директрисы d = +-a/e = +-2/√2 = +-√2.

Асимптоты y = +-(b/a)x = +-(2/2)x = +-х.

Answer 2

Для начала, давайте построим гиперболу согласно заданным значениям. Уравнение гиперболы имеет вид:

(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1

Где `a` и `b` - полуоси гиперболы. В данном случае, у нас `a = 3` и `b = 2i`, где `i` - мнимая единица.

Перепишем уравнение гиперболы, используя данные значения:

(x^2/3^2) - (y^2/(2i)^2) = 1

(x^2/9) - (y^2/-4) = 1

Теперь, давайте приведем уравнение гиперболы к стандартному виду, чтобы определить ее характеристики.

Приведение к стандартному виду

Уравнение гиперболы можно привести к стандартному виду с помощью подходящих преобразований координат.

(x^2/9) - (y^2/-4) = 1

Умножим оба члена уравнения на `-1`, чтобы избавиться от отрицательного знака во втором члене:

(-x^2/9) + (y^2/4) = 1

Теперь, домножим оба члена уравнения на `9` и `4`, чтобы избавиться от дробей:

-x^2 + 9y^2 = 36

Характеристики гиперболы

Теперь, когда у нас есть уравнение гиперболы в стандартном виде, мы можем определить ее характеристики.

- Центр: Центр гиперболы определен по координатам (0, 0), так как оба члена уравнения содержат `x` и `y`, а не смещенные значения.

- Полуоси: Полуоси гиперболы определяются значениями `a` и `b`. В данном случае, `a = 3` и `b = 2i`. Поскольку `b` является мнимым числом, мы можем сказать, что гипербола не имеет действительных полуосей и растягивается вдоль мнимой оси `y`.

- Фокусы: Фокусы гиперболы определяются по формуле `c = sqrt(a^2 + b^2)`. В данном случае, `a = 3` и `b = 2i`. Подставляя значения, мы получаем `c = sqrt(3^2 + (2i)^2) = sqrt(9 - 4) = sqrt(5)`. Таким образом, фокусы гиперболы находятся на расстоянии `sqrt(5)` от центра гиперболы.

- Асимптоты: Асимптоты гиперболы можно найти с помощью формулы `y = ±(b/a) * x`. В данном случае, `a = 3` и `b = 2i`. Подставляя значения, мы получаем асимптоты в виде `y = ±(2i/3) * x`.

- Эксцентриситет: Эксцентриситет гиперболы определяется формулой `e = c/a`, где `c` - расстояние от центра до фокуса, а `a` - действительная полуось гиперболы. В данном случае, у нас нет действительной полуоси, поэтому эксцентриситет гиперболы не определен.

Таким образом, мы построили гиперболу с заданными характеристиками и определили ее основные характеристики.