Question

Даны вершины треугольника: A(5;- 2) , B(-3;- 3) , C(-1;- 6) . Определить острый угол между биссектрисой угла C и медианой, проведённой из вершины A.

Answer 1

Даны вершины треугольника: A(5;- 2) , B(-3;- 3) , C(-1;- 6).

Определить острый угол между биссектрисой угла C и медианой, проведённой из вершины A.

Найдем длины сторон.

Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:  

|d| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Координаты векторов сторон

АВ (c)           BC (a)            AС (b)  

x     y           x      y              x       y  

-8   -1          2     -3             -6     -4        

Длины сторон АВ (с) = √(64 +1) = √65 ≈ 8,0623.

           BC (а) = √(4+ 9)= √13 ≈ 3,6056.

           AC (b) = √(36 + 1) =  √52 ≈ 7,2111.

Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.

Е = (B(-3;- 3) + C(-1;- 6))/2 = (-2; -4,5).

Вектор АЕ = (-2-5; -4,5-(-2)) = (-7; -2,5)

Тангенс угла наклона АЕ к оси Ох = Δу/хΔ = -2,5/(-7) = 5/14.

Переходим к биссектрисе BD.

Основание биссектрисы - точка D - делит сторону АВ от точки В как ВС/АС = √13/√52 = 1/2.

Находим координаты точки D по этой пропорции координат.

x(D) = x(B) - (1/3)(-8) = -3 + (8/3) = -1/3.

y(D) = y(B) - (1/2=3)*(-1) = -3 + (1/3) = -8/3.

Определяем вектор CD: ((-1/3)-(-1); (-8/3)-(-6)) = ((2/3); (10/3)).

Тангенс угла наклона CD к оси Ох = Δу/хΔ = (10/3)/(2/3) = 5.

Находим тангенс угла между AE и CD.

tgα = (5-(5/14))/(1 + 5*(5/14)) = 65/39.

Угол α = arctg(65/39) = 59,0362 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте выполним несколько шагов:

1. Найдем угол C между сторонами AB и AC.

2. Найдем биссектрису угла C.

3. Найдем медиану, проведенную из вершины A.

4. Определим острый угол между биссектрисой угла C и медианой из вершины A.

Для начала определим координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Вектор из точки A в точку B вычисляется как \(\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{bmatrix}\), а вектор из точки A в точку C - как \(\overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{bmatrix}\).

1. Вычисляем угол C между сторонами AB и AC, используя скалярное произведение векторов:

\[ \cos C = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\|} \]

где \(\cdot\) - скалярное произведение, \(\|\overrightarrow{AB}\|\) и \(\|\overrightarrow{AC}\|\) - длины векторов AB и AC соответственно.

2. Найдем биссектрису угла C. Обозначим точку пересечения биссектрисы с отрезком AB через D. Длина биссектрисы BD может быть найдена с использованием теоремы о биссектрисе:

\[ BD = \frac{2 \cdot \|AB\| \cdot \|AC\|}{\|AB\| + \|AC\|} \]

Теперь мы знаем координаты точек B, C и D, поэтому мы можем вычислить длину BD.

3. Найдем медиану из вершины A. Обозначим точку пересечения медианы с отрезком BC через E. Длина медианы AE может быть найдена как половина длины отрезка BC:

\[ AE = \frac{1}{2} \cdot \|BC\| \]

4. Определим острый угол между биссектрисой угла C и медианой из вершины A. Для этого используем формулу:

\[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AE}}{\|\overrightarrow{BD}\| \cdot \|\overrightarrow{AE}\|} \]

где \(\theta\) - угол между биссектрисой и медианой.

Таким образом, вы сможете определить острый угол между биссектрисой угла C и медианой, проведенной из вершины A.