Question

Найти первообразную функции y=x, график которой проходит через точку P(3;5)​

Answer 1

Первообразная данной функции $f(x)$ является функция $F(x)$, которая определена как интеграл от функции $f(x):$

$F(x)=\displaystyle \int f(x)dx=\dfrac{x^2}{2}+C$

Подставляя координаты точки Р в функцию первообразной, получим:

5 = 3²/2 + C

C = 0.5

Искомая функция: $F(x)=\dfrac{x^2}{2}+0.5$

Answer 2

Первообразная функции (интеграл) \( \int y \, dx \) задана неоднозначно, потому что она может иметь бесконечное количество решений с добавлением произвольной постоянной. Но если у нас есть условие, что график проходит через точку \( P(3;5) \), мы можем использовать это, чтобы найти конкретное решение.

Функция \( y = x \) задает прямую линию с угловым коэффициентом 1 (наклон 45 градусов), и мы ищем первообразную этой функции, которая проходит через \( P(3;5) \).

Интегрируя функцию \( y = x \) по \( dx \), мы получаем \( \int y \, dx = \frac{x^2}{2} + C \), где \( C \) - произвольная постоянная.

Чтобы использовать условие \( P(3;5) \), подставим координаты точки в уравнение первообразной:

\[ 5 = \frac{3^2}{2} + C \] \[ 5 = \frac{9}{2} + C \] \[ C = 5 - \frac{9}{2} \] \[ C = \frac{10}{2} - \frac{9}{2} \] \[ C = \frac{1}{2} \]

Таким образом, конкретное решение первообразной функции \( y = x \), проходящее через \( P(3;5) \), будет \( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \).