Question

СРОЧНО!!! ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (1+е^х) * у'=у

Answer 1

$(1 + e^x)*y' = y$

$\frac{1}{(1 + e^x)*y'} = \frac{1}{y}$

$></p> <p>Интеграл в правой части равен ln |y|, а в левой части применим подстановку:</p> <p><img src=$

Модуль убирается, так как e^x > 0 и e^x + 1 > 0

Ответ: $y = \frac{e^x}{e^x + 1}$

Answer 2

Дифференциальное уравнение, которое вы предоставили, выглядит следующим образом: (1 + e^x) * y' = y. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать метод разделяющихся переменных.

Метод разделяющихся переменных

1. Делим обе части уравнения на y: (1 + e^x) * y' / y = 1. 2. Переносим y' влево и dx вправо: y' / y = 1 / (1 + e^x). 3. Умножаем обе части уравнения на dx: (y' / y) * dx = 1 / (1 + e^x) * dx. 4. Интегрируем обе части уравнения: ∫(y' / y) dx = ∫(1 / (1 + e^x)) dx.

Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения и найти общее решение.

Интегрирование

1. Интегрируем левую часть уравнения: ∫(y' / y) dx = ∫(1 / (1 + e^x)) dx. 2. Левая часть уравнения может быть проинтегрирована с использованием метода замены переменной. Пусть u = y, тогда du = y' dx. Заменяя y' dx на du, получаем: ∫(1 / u) du = ln|u| + C1, где C1 - постоянная интегрирования. 3. Правая часть уравнения может быть проинтегрирована с использованием метода замены переменной. Пусть t = e^x, тогда dt = e^x dx. Заменяя e^x dx на dt, получаем: ∫(1 / (1 + t)) dt = ln|1 + t| + C2, где C2 - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем объединить результаты интегрирования и найти общее решение.

Общее решение

Используя результаты интегрирования, получаем: ln|y| + C1 = ln|1 + e^x| + C2. Мы можем объединить константы интегрирования C1 и C2 в одну константу C: ln|y| = ln|1 + e^x| + C. Применяя экспоненту к обеим сторонам уравнения, получаем: |y| = |1 + e^x| * e^C. Так как e^C является положительной константой, мы можем убрать модули: y = (1 + e^x) * e^C. Мы также можем объединить (1 + e^x) и e^C в одну константу K: y = K * (1 + e^x), где K = e^C.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (1 + e^x) * y' = y имеет вид: y = K * (1 + e^x), где K - произвольная постоянная.

Answer 3

Дано дифференциальное уравнение:

(1 + e^x)y' = y

Для решения данного уравнения можно использовать метод разделяющихся переменных.

1. Делим уравнение на (1 + e^x):

y' / y = 1 / (1 + e^x)

2. Записываем левую и правую части уравнения в дифференциальной форме:

(dy / dx) / y = 1 / (1 + e^x) dx

3. Интегрируем обе части уравнения по соответствующим переменным:

∫ (dy / y) = ∫ (1 / (1 + e^x)) dx

4. Интегрируем левую и правую части:

ln|y| = ∫ (1 / (1 + e^x)) dx

Для интегрирования правой части можно воспользоваться заменой переменной. Пусть z = 1 + e^x, тогда dz = e^x dx.

∫ (1 / (1 + e^x)) dx = ∫ (1 / z) dz = ln|z| + C1 = ln|1 + e^x| + C1

Где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, уравнение принимает вид:

ln|y| = ln|1 + e^x| + C1

5. Применяем экспоненту к обеим частям уравнения:

|y| = |1 + e^x| * e^C1

Можем заметить, что модули могут быть убраны, так как константа e^C1 всегда положительна, и значит, константу можно выбрать так, чтобы уравнение оставалось верным для всех x.

6. Записываем результат в общем виде:

y = (1 + e^x) * C2, где C2 = e^C1

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет выглядеть как y = (1 + e^x) * C2, где C2 - произвольная постоянная.