Question

В прямоугольной трапеции ABCD высота AB=24; стороны AD=17 и BC=7. Биссектриса угла ABC пересекает сторону CD в точке К. Найдите СК

Answer 1

Самый простой вариант - это начертить трапецию и измерить нужное.

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD и найдем длину биссектрисы угла ABC, которая пересекает сторону CD в точке K.

У нас есть трапеция ABCD с высотой AB = 24, сторонами AD = 17 и BC = 7.

1. Найдем длину диагонали AC, используя теорему Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]

\[ AC = \sqrt{24^2 + 7^2} \] \[ AC = \sqrt{576 + 49} \] \[ AC = \sqrt{625} \] \[ AC = 25 \]

2. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Биссектриса угла ABC делит сторону AC на отрезки пропорционально прилегающим сторонам треугольника. Обозначим длину биссектрисы через BK и KC, где K - точка пересечения биссектрисы с стороной AC.

Используем формулу для деления отрезка внутри треугольника пропорционально прилегающим сторонам:

\[ \frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{BK}{KC} = \frac{24}{25} \]

Теперь найдем длину BK:

\[ BK = \frac{24}{24+25} \times AC \] \[ BK = \frac{24}{49} \times 25 \] \[ BK = \frac{24 \times 25}{49} \] \[ BK = \frac{600}{49} \]

Таким образом, длина BK равна \( \frac{600}{49} \), а длина KC равна \( AC - BK = 25 - \frac{600}{49} \).

3. Теперь найдем длину CK:

\[ CK = 25 - \frac{600}{49} \] \[ CK = \frac{1225}{49} - \frac{600}{49} \] \[ CK = \frac{625}{49} \]

Таким образом, длина биссектрисы угла ABC, которая пересекает сторону CD в точке K, равна \( \frac{625}{49} \).