Question

Помогите! Даю 20 баллов! Целые числа a, b и с таковы, что ab+bc+ac=1. Докажите, что значение выражения (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) является квадратом целого числа.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение \((a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1)\). Мы хотим доказать, что это является квадратом целого числа при условии \(ab + bc + ac = 1\).

1. Раскрытие скобок: \[(a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) = a^2b^2c^2 + a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 1\]

2. Преобразование: Заметим, что \(ab + bc + ac = 1\), поэтому мы можем выразить квадраты \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) через это уравнение.

\[a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 = (ab + bc + ac)^2 - 2abc(a + b + c)\]

Теперь мы можем подставить это обратно в наше выражение:

\[a^2b^2c^2 + a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 1 = (ab + bc + ac)^2 - 2abc(a + b + c) + a^2 + b^2 + c^2 + 1\]

3. Упрощение: Мы видим, что в выражении есть квадрат \(ab + bc + ac\), и мы также можем объединить квадраты \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\). Получаем:

\[(ab + bc + ac)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 1 - 2abc(a + b + c)\]

4. Факторизация: Рассмотрим выражение \((ab + bc + ac)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 1 - 2abc(a + b + c)\). Мы видим, что оно представляет собой квадрат с некоторыми слагаемыми.

Давайте представим, что \((ab + bc + ac)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2ab^2c + 2a^2bc + 2abc^2\).

Тогда наше выражение можно записать как: \[(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2ab^2c + 2a^2bc + 2abc^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 1 - 2abc(a + b + c)\]

5. Сгруппируем слагаемые: \[(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 2abc(a^2 + b^2 + c^2) + 1 - 2abc(a + b + c)\]

6. Упрощение: \[(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 1\]

Таким образом, мы видим, что наше исходное выражение эквивалентно квадрату целого числа \((ab + bc + ac)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 1\). Таким образом, при условии \(ab + bc + ac = 1\), выражение \((a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1)\) является квадратом целого числа.