Question

Решить уравнение: |x − 1| + |x − 2| = |x − 3| + 4

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$|x-1|+|x-2|=|x-3|+4\\|x-1|+|x-2|-|x-3|-4=0$

Введем функцию: $f(x)=|x-1|+|x-2|-|x-3|-4$.

Она непрерывна на всей области определения.

Заметим, что:

• При $x\le1$ все модули раскрываются со знаком минус, поэтому получим монотонно убывающую функцию.
• При $x\ge3$ все модули раскрываются со знаком плюс, поэтому получим монотонно возрастающую функцию.
• При $1$ первый модуль раскрывается со знаком плюс, а третий со знаком минус. Поэтому вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, получим монотонно возрастающую функцию.

Тогда $f(x)$ монотонно убывает на промежутке $(-\infty;\;1]$ и монотонно возрастает на промежутке $[1;\;+\infty)$.

Теперь можно подбором получить корни $x=\pm4$, а выше сказанное позволяет утверждать, что они единственные.

Задание выполнено!

Answer 2

Давайте решим данное уравнение пошагово.

Имеем уравнение:

\[ |x - 1| + |x - 2| = |x - 3| + 4 \]

1. Рассмотрим четыре возможных случая, в зависимости от знаков переменных внутри модулей:

a. \(x - 1\) и \(x - 2\) положительны, \(x - 3\) отрицателен: \[ (x - 1) + (x - 2) = -(x - 3) + 4 \]

b. \(x - 1\) и \(x - 2\) положительны, \(x - 3\) положителен: \[ (x - 1) + (x - 2) = (x - 3) + 4 \]

c. \(x - 1\) отрицателен, \(x - 2\) и \(x - 3\) положительны: \[ -(x - 1) + (x - 2) = (x - 3) + 4 \]

d. \(x - 1\) положителен, \(x - 2\) и \(x - 3\) положительны: \[ (x - 1) - (x - 2) = (x - 3) + 4 \]

2. Решим каждое из полученных уравнений.

a. \( (x - 1) + (x - 2) = -(x - 3) + 4 \) \[ 2x - 3 = -x + 7 \] \[ 3x = 10 \] \[ x = \frac{10}{3} \]

b. \( (x - 1) + (x - 2) = (x - 3) + 4 \) \[ 2x - 3 = x + 1 \] \[ x = 4 \]

c. \( -(x - 1) + (x - 2) = (x - 3) + 4 \) \[ -x + 1 + x - 2 = x - 3 + 4 \] \[ -1 = x - 3 + 4 \] \[ x = -2 \]

d. \( (x - 1) - (x - 2) = (x - 3) + 4 \) \[ x - 1 - x + 2 = x - 3 + 4 \] \[ 1 = x - 3 + 4 \] \[ x = -2 \]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x = \frac{10}{3} \) и \( x = 4 \).