Question

Как общее уравнение прямой в пространстве превратить в каноническое?

Answer 1

Ответ:

Этот вид уравнений прямой удобен при решении многих задач, поэтому канонические уравнения прямой в пространстве заслуживают детального и всестороннего изучения.

Сначала мы выведем канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве и приведем примеры. Далее научимся определять координаты направляющего вектора прямой по известным каноническим уравнениям прямой, а также составлять канонические уравнения прямой при известном направляющем векторе и заданной точке прямой. После этого остановимся на частных случаях канонических уравнений прямой в пространстве и получим уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства. В заключении рассмотрим связь канонических уравнений прямой с другими видами уравнений этой прямой в пространстве и подробно разберем решения характерных задач.

Answer 2

Общее уравнение прямой в пространстве

Общее уравнение прямой в пространстве имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где A, B и C - коэффициенты, определяющие направление прямой, а D - свободный член.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой в пространстве представляет прямую в параметрической форме. Оно имеет следующий вид:

x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct

где (x0, y0, z0) - координаты точки, через которую проходит прямая, а (a, b, c) - направляющий вектор прямой.

Преобразование общего уравнения в каноническое

Для преобразования общего уравнения прямой в пространстве в каноническое, необходимо определить координаты точки, через которую проходит прямая, а также направляющий вектор прямой.

1. Найдите координаты точки, через которую проходит прямая. Для этого можно использовать информацию из общего уравнения, например, если D = 0, то прямая проходит через начало координат (0, 0, 0), в противном случае можно выбрать любую точку на прямой.

2. Определите направляющий вектор прямой. Для этого можно использовать коэффициенты A, B и C из общего уравнения. Направляющий вектор будет иметь вид (A, B, C).

3. Подставьте найденные значения в каноническое уравнение прямой, заменяя x0, y0, z0 на координаты точки, а a, b, c на коэффициенты A, B и C соответственно.

Пример:

Пусть дано общее уравнение прямой: 2x + 3y - 4z + 5 = 0.

1. Найдем координаты точки, через которую проходит прямая. В данном случае можно выбрать начало координат (0, 0, 0).

2. Определим направляющий вектор прямой. В данном случае он будет иметь вид (2, 3, -4).

3. Подставим найденные значения в каноническое уравнение прямой:

x = 0 + 2t y = 0 + 3t z = 0 - 4t

Таким образом, общее уравнение прямой 2x + 3y - 4z + 5 = 0 преобразуется в каноническое уравнение прямой x = 2t, y = 3t, z = -4t.