Question

Помогите пожалуйста! Не могу никак развязать! Дискретная случайная величина Х-количество раз появления 4 очков при подбрасывании двух игральных кубиков. Найти закон распределения ДВВ, числовые характеристики и функцию распределения.

Answer 1

Ответ:

Это довольно обширный раздел: изучаются разные законы распределения (биномиальный, геометрический, гипергеометрический, Пуассона и другие), свойства и числовые характеристики, для каждого ряда распределения можно строить графические представления: полигон (многоугольник) вероятностей, функцию распределения.

Answer 2

Для решения задачи нам нужно определить вероятности каждого значения случайной величины Х (количество раз появления 4 очков при подбрасывании двух игральных кубиков). Вероятности определяются с использованием сочетаний и общего числа возможных исходов.

Для двух кубиков общее число исходов составляет \(6 \times 6 = 36\), так как у каждого кубика 6 граней. Теперь определим количество способов, которыми мы можем получить 4 очка при броске двух кубиков.

Существует три способа получить 4 очка: 1. \(2 + 2\) 2. \(3 + 1\) 3. \(1 + 3\)

Теперь найдем вероятности каждого из этих событий. Вероятность события - это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

1. \(P(X = 0)\) - не выпадет 4 очка на обоих кубиках - Это означает, что должны выпасть числа от 1 до 3 на каждом кубике. - Существует \(3 \times 3 = 9\) благоприятных исходов. - \(P(X = 0) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\)

2. \(P(X = 1)\) - 4 очка выпадет на одном из кубиков - Существует \(3\) благоприятных исхода (2 на первом кубике и 1 на втором, или наоборот). - \(P(X = 1) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)

3. \(P(X = 2)\) - 4 очка выпадет на обоих кубиках - Есть только один благоприятный исход (2 на обоих кубиках). - \(P(X = 2) = \frac{1}{36}\)

Теперь мы можем записать закон распределения (probability mass function, PMF) для дискретной случайной величины X:

\[ P(X = x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{4} & \text{если } x = 0 \\ \frac{1}{12} & \text{если } x = 1 \\ \frac{1}{36} & \text{если } x = 2 \\ 0 & \text{в остальных случаях} \end{array} \right. \]

Теперь найдем числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию):

Математическое ожидание \(E(X)\) для дискретной случайной величины:

\[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i) \]

\[\begin{split} E(X) & = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{12} + 2 \cdot \frac{1}{36} \\ & = \frac{1}{3} \end{split}\]

Дисперсия \(Var(X)\) для дискретной случайной величины:

\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

\[\begin{split} E(X^2) & = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(X = x_i) \\ & = 0^2 \cdot \frac{1}{4} + 1^2 \cdot \frac{1}{12} + 2^2 \cdot \frac{1}{36} \\ & = \frac{5}{9} \end{split}\]

\[ Var(X) = \frac{5}{9} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]

Теперь у нас есть закон распределения, числовые характеристики и функция распределения для данной случайной величины.