Question

Помогите решить. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения.(2x^2+5) ×dy+2xydx=0. y=1. x=1

Answer 1

Ответ: 2*ln(y)+ln(2*x²+5)=C, y²*(2*x²+5)=7.

Пошаговое объяснение:

Разделив уравнение на произведение (2*x²+5)*y, получим уравнение dy/y+2*x*dx/(2*x²+5)=0, или dy/y+1/2*d(2*x²+5)/(2*x²+5)=0. Интегрируя, получаем: 2*ln(y)+ln(2*x²+5)=C, где C - произвольная постоянная. Используя условие y(1)=1, получаем уравнение: 2*0+ln(7)=C, откуда C=ln(7). Отсюда y²*(2*x²+5)=7.

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

(2x^2 + 5)dy + 2xydx = 0

Для начала, проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдем частные производные от выражения (2x^2 + 5)dy + 2xydx.

∂/∂y(2x^2 + 5) = 0 ∂/∂x(2x^2 + 5) = 4x

Заметим, что ∂/∂y(2xy) = 2x ≠ 4x, поэтому это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Для решения этого уравнения, преобразуем его к виду, подходящему для решения методом разделяющихся переменных:

(2x^2 + 5)dy = -2xydx

dy/dx = (-2xy) / (2x^2 + 5)

Сократим дробь на 2:

dy/dx = -xy / (x^2 + 2.5)

Перепишем это уравнение как:

(dy / dx) + (xy / (x^2 + 2.5)) = 0

Теперь это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения воспользуемся методом интегрирующего множителя.

Перемножим уравнение на множитель μ(x), чтобы сделать его в точности дифференциалом:

μ(x) * (dy / dx) + μ(x) * (xy / (x^2 + 2.5)) = 0

μ(x) * (dy / dx) + (μ(x)y * x) / (x^2 + 2.5) = 0

Найдем μ(x):

∂(μ(x) * (dy / dx)) / ∂y = ∂(μ(x)y * x / (x^2 + 2.5)) / ∂x

(∂/∂y(μ(x) * (dy / dx))) = (∂/∂x(μ(x)y * x / (x^2 + 2.5)))

∂/∂y(μ(x)) * (dy / dx) + μ(x) * (∂/∂x(dy / dx)) = x * (∂/∂x(μ(x)y / (x^2 + 2.5))) + (μ(x)y) * (∂/∂x(x / (x^2 + 2.5)))

∂/∂y(μ(x)) * (dy / dx) + μ(x) * (∂^2y / ∂x^2) = x * ∂/∂x(μ(x)y) / (x^2 + 2.5) + μ(x)* y * (∂/∂x(x / (x^2 + 2.5)))

Так как ∂^2y / ∂x^2 = 0 (так как y не зависит явно от x), в этом уравнении остается только одно слагаемое:

∂/∂y(μ(x)) * (dy / dx) = y * (∂/∂x(x / (x^2 + 2.5)))

∂/∂y(μ(x)) / y = (∂/∂x(x / (x^2 + 2.5))) / dy / dx

Выражение с левой стороны является функцией только от x, а выражение с правой стороны является функцией только от y. Поэтому, чтобы эти выражения равнялись друг другу, они должны равняться некоторой константе. Обозначим эту константу за C.

∂/∂y(μ(x)) / y = (∂/∂x(x / (x^2 + 2.5))) / dy / dx = C

∂/∂y(μ(x)) = Cy

∫ (∂/∂y(μ(x))) dy = ∫Cy dy

∫ (∂/∂y(μ(x))) dy = ∫(Cy) dy

∫ (∂/∂y(μ(x))) dy = C∫y dy

∫ (∂/∂y(μ(x))) dy = C(1/2)y^2 + K

(∂/∂y(μ(x))) = C(1/2)y^2 + K

∂/∂y(μ(x)) = (Cy^2)/2 + K

Проинтегрируем это выражение по y:

∫ (∂/∂y(μ(x))) dy = ∫((Cy^2)/2 + K) dy

∫ (∂/∂y(μ(x))) dy = (∫((Cy^2)/2) dy) + (∫K dy)

μ(x) = (Cy^3)/6 + Ky + C1, где C1 - константа интегрирования.

Теперь, зная μ(x), делаем замену μ(x) = exp(∫(1/x) dx):

exp(∫(1/x) dx) = (Cy^3)/6 + Ky + C1

Проинтегрируем это по x:

∫ exp(∫(1/x) dx) dx = ∫((Cy^3)/6 + Ky + C1) dx

exp(∫(1/x) dx) = (∫((Cy^3)/6) dx) + (∫(Ky) dx) + (∫C1 dx)

exp(ln|x|) = (∫((Cy^3)/6) dx) + (∫(Ky) dx) + (∫C1 dx)

x = (∫((Cy^3)/6) dx) + (∫(Ky) dx) + (∫C1 dx)

x = (Cy^3)/6 *x + (Ky^2)/2 + C1x + C2, где C2 - константа интегрирования.

Таким образом, мы получили общее решение дифференциального уравнения:

x = (Cy^3)/6 *x + (Ky^2)/2 + C1x + C2

Однако, для нахождения частного решения данного уравнения нам нужны начальные условия. В задаче дано, что при x = 1, y = 1. Используя эти начальные условия, мы можем найти конкретные значения констант C и C1:

1 = (C(1^3))/6 *1 + (K(1^2))/2 + C1(1) + C2

1 = C/6 + K/2 + C1 + C2

Таким образом, чтобы найти частное решение, нужно решить систему из двух уравнений:

C/6 + K/2 + C1 + C2 = 1 C = C/6 + C1 + C2

Решив эту систему уравнений, получим значения C, K, C1 и C2, и сможем записать частное решение.