Question

Найдите наибольшее четырёхзначное число,которое при делении и на 80 и на 75 дает в остатке 23​

Answer 1

Ответ:

9623

Пошаговое объяснение:

Число, которое получается при вычитании 23 из нужного нам, делится нацело и на 75, и на 80.

Найдем НОК чисел 75 и 80  

НОК (75; 80)= 1200.

Найдем наибольшее кратное числа 1200 среди 4ехзначных чисел. Для этого 9999 разделим на 1200 с остатком, а потом умножим целую часть кратного на 1200.

Получим 9600. Это самое большое 4ехзначное число, которое делится и на 75, и на 80. А значит самое большое 4-ёхзначное число, которое делится и на 75, и на 80 с остатком 23 это

9600+23=9623.

Answer 2

Из условия возникает такая система:

x * 80 + 23 = z;

y * 75 + 23 = z;

999 < z < 10000;

Найдем НОК 80 и 75:

80 = 4 * 4 * 5

75 = 3 * 5 * 5

Наименьшее общее кратное =  3 * 4 * 4 * 5 * 5 = 1200.

Значит, наибольшее четырехзначное число, дающее при делении и на 80 и на 75 остаток 23 должно быть ближайшим к 10000 и при этом кратно 1200.

Это число 9600. Не забываем про остаток 23, получаем 9623.

Ответ: 9623

Answer 3

Давайте обозначим искомое четырёхзначное число как \( N \). Мы знаем, что при делении \( N \) на 80 и на 75 остаток составляет 23.

1. Для деления на 80:

\[ N \equiv 23 \pmod{80} \]

2. Для деления на 75:

\[ N \equiv 23 \pmod{75} \]

Теперь давайте рассмотрим систему уравнений. Обозначим через \( a \) коэффициент при \( N \) для деления на 80 и через \( b \) - для деления на 75:

\[ \begin{cases} N \equiv 23 \pmod{80} \\ N \equiv 23 \pmod{75} \end{cases} \]

Здесь \( a = 80 \), \( b = 75 \) и \( c = 23 \). Мы ищем решение этой системы.

Решение системы сравнений \( N \equiv c \pmod{a} \) и \( N \equiv c \pmod{b} \) существует тогда и только тогда, когда \( a \) и \( b \) взаимно просты (то есть их наибольший общий делитель равен 1). В данном случае 80 и 75 не взаимно просты, так как их НОД равен 5.

Из-за этого система может не иметь решений, или может иметь бесконечно много решений.

Давайте рассмотрим общий вид решения для системы сравнений \( N \equiv c \pmod{a} \) и \( N \equiv c \pmod{b} \):

\[ N \equiv c \pmod{\text{НОД}(a, b)} \]

В нашем случае, \( \text{НОД}(80, 75) = 5 \), следовательно:

\[ N \equiv 23 \pmod{5} \]

Теперь давайте найдем все четырёхзначные числа, которые удовлетворяют этому условию:

\[ N = 5k + 23 \]

Где \( k \) - целое число, \( 1000 \leq N \leq 9999 \) (число четырёхзначное). Мы можем начать с \( k = 200 \), так как минимальное четырёхзначное число - 1000, и при \( k = 200 \) получим \( N = 1023 \).

Таким образом, наименьшее четырёхзначное число, удовлетворяющее условиям, это 1023.