Question

Пара действительных чисел ( x ; y ) такова, что (x2 + 9)(y2 +1)=(x+3y)2 . Найдите наименьшее возможное значение x2 + y2​

Answer 1

Ответ:

10

Пошаговое объяснение:

сначала раскроем скобки

x2y2+x2+9=x2+6xy+9y2

сократим

x2y2+9=6xy

методом подбора подбираем числа

берем x=1 y=3

подставляем

9+9=6*3

18=18

x2+y2=1+9=10

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем преобразовать его и использовать методы решения квадратных уравнений.

Итак, у нас есть уравнение:

(x^2 + 9)(y^2 + 1) = (x + 3y)^2

Давайте раскроем скобки на левой стороне:

x^2y^2 + x^2 + 9y^2 + 9 = x^2 + 6xy + 9y^2

Далее, упростим уравнение:

x^2y^2 + 9 = 6xy

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

x^2y^2 - 6xy + 9 = 0

Теперь давайте рассмотрим это как квадратное уравнение относительно переменной x. Мы можем решить его, используя дискриминант (D) и формулу корней квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac

где a = y^2, b = -6y и c = 9.

Вычислим дискриминант:

D = (-6y)^2 - 4(y^2)(9) = 36y^2 - 36y^2 = 0

У нас получается D = 0. Это означает, что уравнение имеет один корень.

Теперь воспользуемся формулой корня квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

x = (-(-6y) ± √0) / (2y^2) = (6y ± 0) / (2y^2) = 6y / (2y^2) = 3 / y

Таким образом, мы получили, что x = 3 / y.

Теперь найдем значение x^2 + y^2.

(x^2 + y^2) = (3 / y)^2 + y^2 = 9 / y^2 + y^2

Мы хотим найти наименьшее возможное значение x^2 + y^2, поэтому найдем его производную по y и приравняем ее к нулю:

d/dy (9 / y^2 + y^2) = 0

(18y / y^4) + (2y) = 0

18 / y^3 + 2 = 0

18 + 2y^3 = 0

2y^3 = -18

y^3 = -9

y = -∛9

Теперь, подставим значение y в уравнение x = 3 / y:

x = 3 / (-∛9)

x = -∛9 / 3

x = -∛3

Таким образом, наименьшее возможное значение x^2 + y^2 равно (-∛3)^2 + (-∛9)^2 = 3 + 9 = 12.