Question

15 баллов) Пара действительных чисел ( x ; y ) такова, что (x2 + 9)(y2 +1)=(x+3y)2 . Найдите наименьшее возможное значение x2 + y2 срочно нужно

Answer 1

Ответ:

54

Пошаговое объяснение:

.

Answer 2

Ответ: 6

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Давайте решим данное уравнение. Имеем:

\[(x^2 + 9)(y^2 + 1) = (x + 3y)^2.\]

Раскроем скобки:

\[x^2y^2 + x^2 + 9y^2 + 9 = x^2 + 6xy + 9y^2.\]

Теперь упростим уравнение:

\[x^2y^2 + 9 = 6xy.\]

Теперь выразим одну переменную через другую. Для этого давайте выразим, например, \(y\) через \(x\):

\[y = \frac{x^2y^2 + 9}{6x}.\]

Теперь подставим это выражение в уравнение \(x^2 + y^2\) и упростим:

\[x^2 + \left(\frac{x^2y^2 + 9}{6x}\right)^2 = x^2 + \frac{(x^2y^2 + 9)^2}{36x^2}.\]

Теперь упростим числитель:

\[x^2 + \frac{x^4y^4 + 18x^2y^2 + 81}{36x^2}.\]

Сократим \(x^2\) в числителе и знаменателе:

\[1 + \frac{x^2y^4 + 18y^2 + 81}{36}.\]

Теперь минимизируем это выражение. Так как все слагаемые положительные, минимум будет достигнут, когда второе слагаемое равно нулю:

\[x^2y^4 + 18y^2 + 81 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(y^2\):

\[y^4 + 18y^2 + 81 = 0.\]

Проведем замену переменной, \(z = y^2\), и решим квадратное уравнение:

\[z^2 + 18z + 81 = 0.\]

Это уравнение можно представить в виде квадрата:

\[(z + 9)^2 = 0.\]

Отсюда получаем, что \(z = -9\).

Теперь вернемся к исходной переменной \(y^2\):

\[y^2 = -9.\]

Так как \(y^2\) не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, задача не имеет решения в действительных числах. Пожалуйста, проверьте условие задачи или свяжитесь с преподавателем, чтобы уточнить условия.

Answer 4

Для решения данной задачи мы можем использовать метод подстановки. Дано, что пара действительных чисел (x, y) удовлетворяет уравнению (x^2 + 9)(y^2 + 1) = (x + 3y)^2.

Раскроем скобки в уравнении: (x^2 + 9)(y^2 + 1) = x^2 + 6xy + 9y^2

Упростим это выражение: x^2y^2 + x^2 + 9y^2 + 1 = x^2 + 6xy + 9y^2

После упрощения выражения получим: x^2y^2 + 1 = 6xy

Мы хотим найти наименьшее возможное значение x^2 + y^2. So, let's try to substitute the variables and see what we get. Пусть x = 1 и y = 1 – это достаточно простое предположение.

Подставим значения x и y в уравнение: (1^2 + 9)(1^2 + 1) = (1 + 3 * 1)^2 10 * 2 = 4^2 20 = 16

Мы видим, что это уравнение неверно, поэтому наши исходные значения x = 1 и y = 1 неправильные. Это означает, что есть разумные значения x и y, которые должны быть больше или меньше 1.

Попробуем x = 0 и y = 0: (0^2 + 9)(0^2 + 1) = (0 + 0)^2 9 * 1 = 0^2 9 = 0

Опять же, это уравнение неверно, поэтому значения x = 0 и y = 0 тоже неправильные.

Теперь давайте подумаем, какие другие значения мы можем использовать. Мы знаем, что (x^2 + 9)(y^2 + 1) = (x + 3y)^2. Рассмотрим второе слагаемое – (x + 3y)^2. Это квадрат суммы x и 3y. Чтобы минимизировать его значение, нам нужно минимизировать сами переменные x и y.

Поэтому мы можем предположить, что x = -3 и y = 1: ((-3)^2 + 9)(1^2 + 1) = (-3 + 3 * 1)^2 36 * 2 = 0^2 72 = 0

Опять же, это уравнение неверно. Поэтому значения x = -3 и y = 1 неправильные.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда x = 2 и y = 1: ((2)^2 + 9)(1^2 + 1) = (2 + 3 * 1)^2 13 * 2 = 5^2 26 = 25

Это уравнение также неверно. Значит, значения x = 2 и y = 1 неправильные.

Мы пробовали случаи x = 1, x = 0, x = -3, x = 2 и все они не удовлетворяют уравнению. Мы можем продолжать пробовать другие значения, но пока ни одна из наших попыток не дала правильного результата. Поэтому мы можем сделать вывод, что наименьшее возможное значение x^2 + y^2 отсутствует.

Ответ: наименьшее возможное значение x^2 + y^2 не существует.