Question

Один із кутів ромба дорівнює 60°, а більша діагональ - 24 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в даний ромб.

Answer 1

Ответ:

6 см

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивість ромба та властивості кутів вписаного в коло чотирикутника.

1. Властивість ромба: Усі кути ромба рівні між собою, тобто кожен кут ромба дорівнює 60°.

2. Властивості вписаного чотирикутника: Сума протилежних кутів в вписаному чотирикутнику дорівнює 180°.

Розглянемо ромб ABCD, де кут BAC (або будь-який інший кут ромба) дорівнює 60°.

Також, розглянемо трикутник ABC, який є рівностороннім трикутником, оскільки всі сторони ромба рівні.

Отже, кожен кут цього трикутника дорівнює 60°, і сума всіх кутів дорівнює 180°.

Тепер ми можемо визначити кут BAC, використовуючи інформацію про кути трикутника ABC:

Кут BAC = 180° - 60° - 60° = 60°.

Отже, кожен кут ромба дорівнює 60°.

Тепер врахуємо, що велика діагональ ромба AC розбива ромб на два рівні рівнобедрені трикутники. Великий кут між сторонами ромба дорівнює 60°, отже, малі кути рівні між собою і дорівнюють (180° - 60°) / 2 = 60°/2 = 30°.

Таким чином, у нас є рівнобедрений трикутник ABC з кутами 30°, 30°, і 120°.

Розглянемо трикутник AOC (дві сторони від вершини кута BAC і діагональ ромба як третя сторона). Оскільки це рівнобедрений трикутник, ми знаємо, що кут між основою і стороною рівний половині величини відповідного кута при основі.

Таким чином, кут AOC дорівнює 30°.

Тепер, діагональ ромба AC є діаметром вписаного кола. Кут, який охоплює діаметр в колі, завжди дорівнює 180°.

Отже, кут в колі AOC дорівнює 180°, і ми вже знаємо, що кут AOC дорівнює 30°.

Таким чином, інша частина кута (залишок) між діагоналлю і стороною ромба, що не враховується у куті AOC, дорівнює 180° - 30° = 150°.

Тепер введемо відомі дані:

- Більша діагональ ромба (діаметр вписаного кола) AC = 24 см. - Кут, який охоплює діаметр в колі AOC, дорівнює 150°.

Тепер можемо використовувати властивості вписаного кола та тригонометричні функції для знаходження радіуса кола (r).

Відомо, що в кожному вписаному в коло трикутнику сторона трикутника є радіус кола, а половина сторони трикутника - тангенс половини кута, що охоплює цю сторону.

Таким чином, можемо скористатися формулою для тангенса половини кута:

\[ \tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{\text{півпериметр}}{\text{радіус}}, \]

де \(\theta\) - кут, що охоплює сторону трикутника (в даному випадку, 150°), а півпериметр - половина периметру трикутника.

Півпериметр трикутника AOC:

\[ s = \frac{AB + AC + BC}{2} \]

Так як трикутник ABC - рівносторонній трикутник, то \(AB = BC\), тому:

\[ s = \frac{BC + AC + BC}{2} = \frac{2 \cdot BC + AC}{2} = BC + \frac{AC}{2} \]

\[ = BC + \frac{24 \, \text{см}}{2} = BC + 12 \, \text{см} \]

Підставимо значення в формулу для тангенса половини кута:

\[ \tan(\frac{150°}{2}) = \frac{BC + 12 \,