Question

В кулі, площа великого круга якої дорівнює 625π см^2, проведено січну площину. Знайти: відстань від центра кулі до перерізу, якщо площа перерізу дорівнює 225π см^2​ (з малюнком)

Answer 1

Ответ: 20 см

Пошаговое объяснение:

Площа перерізу дорівнює площі кола : Sк = πR²

625π=πR²  

R²= 625π/π, => R=25 см

Січна площина  дорівнює:  S =πr²

225π=πr²

r²= 225π/π  => r= 15см

В результаті перерізу маємо прямокутний трикутник у якого

катет а = 15 см  це є радіус січної площини  , а гіпотенуза с = 25 см це є радіус великого кола

Знайдемо  за теоремою Піфагора катет b це є  відстань від центру кулі до січної площини

25²= 15²+b²

b²= 25²- 15²

b² = 625 - 225

b²= 400

b=20 см

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі скористаємося властивостями січення кулі.

Нехай \( R \) - радіус кулі, \( d \) - відстань від центра кулі до площини січення, \( A \) - площа великого круга, \( A' \) - площа січення.

За умовою задачі маємо:

\[ A = 625\pi \, \text{см}^2 \]

\[ A' = 225\pi \, \text{см}^2 \]

Площа великого круга кулі обчислюється за формулою:

\[ A = 4\pi R^2 \]

Підставимо значення площі \( A \):

\[ 4\pi R^2 = 625\pi \]

Розділимо обидві сторони на \( 4\pi \):

\[ R^2 = \frac{625\pi}{4\pi} \]

Спростимо вираз:

\[ R^2 = \frac{625}{4} \]

\[ R = \frac{25}{2} \]

Отже, радіус кулі \( R = \frac{25}{2} \) см.

Тепер ми можемо скористатися теоремою Піфагора для знаходження відстані \( d \):

\[ R^2 = d^2 + r^2 \]

де \( r \) - радіус січення. У нас \( r \) - радіус малого круга, який дорівнює половині радіуса великого круга:

\[ r = \frac{R}{2} = \frac{25}{4} \]

Підставимо ці значення:

\[ \left(\frac{25}{2}\right)^2 = d^2 + \left(\frac{25}{4}\right)^2 \]

\[ \frac{625}{4} = d^2 + \frac{625}{16} \]

\[ \frac{625}{4} - \frac{625}{16} = d^2 \]

\[ \frac{625}{16} = d^2 \]

\[ d = \frac{25}{4} \]

Отже, відстань від центра кулі до перерізу \( d = \frac{25}{4} \) см.