Question

Знайти масу неоднорідного стержня завдовжки 40 см, якщо його лінійна густина змінюється за законом p(1) = 21^2 + 1 (кг/м).

Answer 1

Ответ :      m ≈ 0,083 кг .

Пошаговое объяснение:

p(L) = 2L² + L (кг/м) ;   40 см = 0,4 м ;      m = ∫ p( L ) dL .

m = ∫₀⁰⁴( 2L² + L )dL = ( 2L³/3 + L²/2 )│₀⁰⁴ = ( 2/3 * 0,4³ + 1/2 * 0,4² ) -

-  ( 2/3 * 0³ + 1/2 * 0² ) = 0,496/6 + 0 ≈ 0,083 (кг )  

Answer 2

Щоб знайти масу неоднорідного стержня, спочатку треба знайти формулу для його лінійної щільності, яка залежить від його положення на вісі Х.

За даними умові, ми знаємо, що лінійна густина змінюється згідно з законом p(1) = 21^2 + 1 (кг/м). Це означає, що лінійна густина залежить від координати на вісі Х за формулою p(x) = x^2 + 1 (кг/м).

Тепер ми можемо використовувати цю формулу, щоб знайти лінійну густину в будь-якій точці стержня.

Стержень має завдовжки 40 см, що дорівнює 0,4 м.

Для знаходження маси неоднорідного стержня, ми можемо використовувати наступну формулу:

m = ∫ p(x) dx,

де m - маса стержня, p(x) - лінійна густина, dx - маленький відрізок на вісі Х.

Щоб обчислити цей інтеграл, спочатку знайдемо антипохідну від функції лінійної густини:

∫ (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x + C,

де C - постійна інтегрування.

Тепер обчислимо вираз для маси стержня:

m = ∫ p(x) dx = ∫ (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x + C,

застосовуючи верхню межу інтегрування x = 0,4 і нижню межу x = 0 (оскільки стержень має довжину 0,4 м):

m = (1/3)(0,4)^3 + 0,4 + C,

m = 0,064/3 + 0,4 + C,

C - постійна, яку можна визначити в разі заміни лінійної густиною μ(1).

Отже, маса стержня дорівнює 0,064/3 + 0,4 + C кілограм.

Для визначення конкретного значення маси потрібно знати значення постійної C або значення лінійної густини p(1).