Question

Решение квадратичного неравенства. 1) 5x^2+7x+1≤0 2) 16(x-4)^2≤256 3) 4t^2+12t+9<0 4) 5s^2-6s+10<0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решаем методом интервалов.

Answer 2

Решение квадратичного неравенства

Давайте рассмотрим каждое из данных квадратичных неравенств по отдельности и найдем их решения.

1) 5x^2 + 7x + 1 ≤ 0

Для начала, посмотрим на дискриминант этого квадратичного уравнения: D = b^2 - 4ac, где a = 5, b = 7 и c = 1. Подставим значения и найдем:

D = 7^2 - 4 * 5 * 1 = 49 - 20 = 29

Так как дискриминант положительный (D > 0), то уравнение имеет два корня. Далее, нам нужно найти значения x, при которых выражение 5x^2 + 7x + 1 ≤ 0 выполняется.

Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод интервалов знакопостоянства. Сначала найдем корни уравнения 5x^2 + 7x + 1 = 0:

x = (-b ± √D) / (2a) x = (-7 ± √29) / (2 * 5)

Таким образом, корни равны:

x1 = (-7 + √29) / 10 x2 = (-7 - √29) / 10

Теперь мы можем построить таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых выполняется неравенство:

     x < (-7 - √29) / 10        (-7 - √29) / 10 < x < (-7 + √29) / 10        x > (-7 + √29) / 10
     -------------------------|-------------------------|-------------------------
     +                        |            -            |            +

Следовательно, решение неравенства 5x^2 + 7x + 1 ≤ 0 будет:

x ∈ [(-7 - √29) / 10, (-7 + √29) / 10]

2) 16(x-4)^2 ≤ 256

Это квадратичное неравенство можно упростить, разделив обе части на 16:

(x-4)^2 ≤ 16

Теперь избавимся от квадрата, извлекая квадратный корень из обеих частей:

|x-4| ≤ 4

Это неравенство означает, что значение выражения x-4 находится в интервале от -4 до 4 включительно. Таким образом, решение данного неравенства будет:

x ∈ [0, 8]

3) 4t^2 + 12t + 9 < 0

Для начала, посмотрим на дискриминант этого квадратичного уравнения: D = b^2 - 4ac, где a = 4, b = 12 и c = 9. Подставим значения и найдем:

D = 12^2 - 4 * 4 * 9 = 144 - 144 = 0

Так как дискриминант равен нулю (D = 0), то уравнение имеет только один корень. Далее, нам нужно найти значения t, при которых выражение 4t^2 + 12t + 9 < 0 выполняется.

Так как дискриминант равен нулю, то это означает, что уравнение имеет один корень:

t = -b / (2a) t = -12 / (2 * 4) t = -3/2

Теперь мы можем построить таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых выполняется неравенство:

     t < -3/2                   t > -3/2
     -------------------------|-------------------------
     -                        |            +

Следовательно, решение неравенства 4t^2 + 12t + 9 < 0 будет:

t ∈ (-∞, -3/2)

4) 5s^2 - 6s + 10 < 0

Для начала, посмотрим на дискриминант этого квадратичного уравнения: D = b^2 - 4ac, где a = 5, b = -6 и c = 10. Подставим значения и найдем:

D = (-6)^2 - 4 * 5 * 10 = 36 - 200 = -164

Так как дискриминант отрицательный (D < 0), то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что уравнение 5s^2 - 6s + 10 < 0 не имеет решения.

Коротко говоря, решениями данных квадратичных неравенств будут:

1) x ∈ [(-7 - √29) / 10, (-7 + √29) / 10] 2) x ∈ [0, 8] 3) t ∈ (-∞, -3/2) 4) Нет решений для уравнения 5s^2 - 6s + 10 < 0.