Question

Функция y = x3 – 12x + 5 убывает на интервале

Answer 1

Вот, надеюсь, что все понятно :)

Answer 2

Функция y = x^3 – 12x + 5 является кубической функцией. Чтобы определить, убывает ли она на заданном интервале, нужно проанализировать ее производную.

Производная функции

Для данной функции, производная будет равна: y' = 3x^2 - 12.

Определение убывания

Функция убывает на интервале, если ее производная отрицательна на этом интервале. Давайте найдем значения x, при которых производная равна нулю, и определим знак производной в окрестности этих точек.

Нахождение точек экстремума

Для найти точки экстремума, решим уравнение производной равной нулю: 3x^2 - 12 = 0.

Решая это уравнение, получим: 3x^2 = 12, x^2 = 4, x = ±2.

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = -2 и x = 2.

Анализ знака производной

Теперь, чтобы определить знак производной в окрестности этих точек, можно выбрать произвольные значения x в каждой из трех областей, образованных точками экстремума.

1. Если x < -2, возьмем x = -3: Подставим x = -3 в производную: y' = 3(-3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15. Значение производной положительное (15 > 0).

2. Если -2 < x < 2, возьмем x = 0: Подставим x = 0 в производную: y' = 3(0)^2 - 12 = 3(0) - 12 = -12. Значение производной отрицательное (-12 < 0).

3. Если x > 2, возьмем x = 3: Подставим x = 3 в производную: y' = 3(3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15. Значение производной положительное (15 > 0).

Вывод

Исходя из анализа знака производной, можно сделать следующие выводы: - Функция y = x^3 – 12x + 5 убывает на интервале (-∞, -2) и (2, +∞). - Функция y = x^3 – 12x + 5 возрастает на интервале (-2, 2).

Примечание: Пожалуйста, обратите внимание, что информация, предоставленная выше, основана на анализе производной функции и не является полным математическим доказательством.