Question

Треугольник ABC задан координатами вершин: A(−4;−2), B(−2;4), C(4;2). Определи вид треугольника ABC по его сторонам и найди его площадь

Answer 1

Ответ:

Δ АВС- равнобедренный, $S=20$  кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Найдем стороны треугольника, воспользовавшись формулой расстояния между точками

$d= \sqrt{(x{_1}- x{_2})^{2}+(y{_1}-y{_2})^{2} }$

$A(-4;-2); B(-2;4) \\AB=\sqrt{(-4+2) ^{2}+(-2-4) ^{2} } =\sqrt{(-2)^{2} +(-6)^{2} } =\sqrt{4+36} =\sqrt{40}=2\sqrt{10} ;$

$A(-4;-2); C(4;2)\\AC= \sqrt{(-4-4) ^{2} +(-2-2)^{2} } =\sqrt{(-8)^{2} +(-4)^{2} } =\sqrt{64+16} =\sqrt{80} =4\sqrt{5} ;$

$B(-2;4); C( 4;2) \\BC= \sqrt{(-2-4)^{2} +(4-2) ^{2} } =\sqrt{(-6)^{2} +2^{2} } =\sqrt{36+4} =\sqrt{40} =2\sqrt{10} .$

Так как AB=BC , то Δ АВС - равнобедренный.

Проведем высоту ВМ, в равнобедренном треугольнике она является и медианой.

Значит, АМ= МС= 4√5: 2=2√5 ед.

Рассмотрим прямоугольный треугольник Δ АМВ и найдем катет ВМ по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. $BM^{2} =AB^{2} -AM^{2} ;\\BM = \sqrt{AB^{2} -AM^{2} } ;\\BM= \sqrt{(2\sqrt{10})^{2} - (2\sqrt{5})^{2} } =\sqrt{40-20} =\sqrt{20} =\sqrt{4\cdot5} =2\sqrt{5} .$

Найдем площадь треугольника как полупроизведение стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

$S= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BM;\\S= \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}=2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5} =4\cdot5=20$

Answer 2

Для определения вида треугольника по его сторонам, мы можем воспользоваться длинами сторон, которые можно вычислить с использованием координат вершин.

Длины сторон треугольника ABC можно найти по формуле расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина AB: \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \) Длина BC: \( BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} \) Длина CA: \( CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} \)

Итак, вычислим длины сторон:

\[ AB = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - (-2))^2} \] \[ BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (2 - 4)^2} \] \[ CA = \sqrt{((-4) - 4)^2 + ((-2) - 2)^2} \]

После вычислений получим значения сторон:

\[ AB = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} \] \[ BC = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} \] \[ CA = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{80} \]

Теперь определим вид треугольника:

1. Равносторонний треугольник: Все три стороны равны. \(\sqrt{40} \neq \sqrt{72} \neq \sqrt{80}\), поэтому треугольник не равносторонний.

2. Равнобедренный треугольник: Два катета равны. Треугольник ABC не является равнобедренным, так как все три стороны различны.

3. Разносторонний треугольник: Все три стороны различны. Это подтверждается вычисленными значениями сторон.

Теперь найдем площадь треугольника. Для этого мы можем воспользоваться формулой Герона:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - CA)} \]

где \( p \) - полупериметр, вычисляемый как \( p = \frac{AB + BC + CA}{2} \).

Вычислим полупериметр:

\[ p = \frac{\sqrt{40} + \sqrt{72} + \sqrt{80}}{2} \]

Теперь вычислим площадь:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - \sqrt{40}) \cdot (p - \sqrt{72}) \cdot (p - \sqrt{80})} \]

После проведения всех вычислений получим значение площади треугольника ABC.