Question

Обчислити об'єм тіла утворенного обертанням навколо осі оу фігури Ф: у^2=4х, х^2=4у

Answer 1

4÷2=8 8÷2=4

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того чтобы вычислить объем тела, образованного вращением фигуры F вокруг оси Оу, где у^2 = 4х и х^2 = 4у, мы можем использовать метод цилиндров образующих.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых

Сначала найдем точки пересечения кривых у^2 = 4х и х^2 = 4у. Для этого можно решить систему уравнений:

у^2 = 4х х^2 = 4у

Выразим х через у из первого уравнения: х = у^2 / 4

Подставим это значение во второе уравнение: (у^2 / 4)^2 = 4у y^4 / 16 = 4у y^4 = 64y y^3 = 64 y = 4

Теперь найдем соответствующие значения x, используя уравнение х = у^2 / 4: x = (4^2) / 4 = 4

Таким образом, точки пересечения кривых F находятся в точке (4, 4).

Шаг 2: Построение цилиндров образующих

Теперь мы можем построить цилиндры образующих, используя кривую F и ось Оу в качестве радиуса и высоты каждого цилиндра соответственно. На каждом срезе цилиндра мы имеем окружность радиусом, равным значению у в этой точке.

Шаг 3: Вычисление объема

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры F вокруг оси Оу, мы можем использовать интеграл по высоте каждого цилиндра.

Объем можно вычислить по следующей формуле:

V = ∫(от 0 до 4) π * r^2 * dy,

где r - радиус окружности, y - высота цилиндра.

В данном случае, радиус окружности r = у, а высота цилиндра равна изменению y от 0 до 4.

V = ∫(от 0 до 4) π * y^2 * dy

Вычислим интеграл:

V = π * ∫(от 0 до 4) y^2 * dy V = π * [y^3 / 3] (от 0 до 4) V = π * [(4^3 / 3) - (0^3 / 3)] V = π * [(64 / 3) - 0] V = (64π / 3)

Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры F вокруг оси Оу, равен (64π / 3) кубических единиц.