Question

Найти допустимые экстремалы функционала l[y]=integral 1 0 (4y-4xy'+y'^2)dx y(0)=1,y(1)=4​

Answer 1

Ответ:

$y=3x+1$

Пошаговое объяснение:

$I[y]=\int\limits_0^1\underbrace{(4y-4xy'+y'^2)}_{F(x,y,y')}dx, y(0)=1,y(1)=4$

$F_y=4;F_{y'}=4x+2y'\Rightarrow (F_{y'})_x=4+2y''$

Тогда соответствующее уравнение Эйлера имеет вид:

$4+2y''=4\Leftrightarrow y''=0\Leftrightarrow y=C_1 x+C_2$

Учтем граничные условия:

$\left\{\begin{array}{c}C_2=1\\C_1+C_2=4\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}C_2=1\\C_1=3\end{array}\right.$

Значит, $y=3x+1$ - допустимая экстремаль рассматриваемого функционала

Answer 2

Для нахождения допустимых экстремалей функционала \( J[y] = \int_{0}^{1} (4y - 4xy' + {y'}^2) \, dx \) с граничными условиями \( y(0) = 1 \) и \( y(1) = 4 \), можно использовать вариационное исчисление, а именно уравнение Эйлера-Лагранжа.

Уравнение Эйлера-Лагранжа для данного функционала выглядит следующим образом:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) - \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \]

Где \( f = (4y - 4xy' + {y'}^2) \).

Давайте найдем частные производные \( f \) по \( y \) и \( y' \):

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 4 \]

\[ \frac{\partial f}{\partial y'} = -4x + 2y' \]

Теперь продифференцируем \(\frac{\partial f}{\partial y'}\) по \(x\):

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) = \frac{d}{dx} (-4x + 2y') = -4 + 2y'' \]

Подставим эти значения в уравнение Эйлера-Лагранжа:

\[ -4 + 2y'' - 4 = 0 \] \[ 2y'' = 8 \] \[ y'' = 4 \]

Теперь проинтегрируем это дважды:

\[ y' = 4x + C_1 \] \[ y = 2x^2 + C_1x + C_2 \]

Используя граничные условия \( y(0) = 1 \) и \( y(1) = 4 \), найдем константы \( C_1 \) и \( C_2 \):

Подставим \( x = 0 \) и \( y = 1 \): \[ 1 = 0 + C_2 \] \[ C_2 = 1 \]

Подставим \( x = 1 \) и \( y = 4 \): \[ 4 = 2 + C_1 + 1 \] \[ C_1 = 1 \]

Таким образом, допустимая экстремаль функционала \( J[y] \) с граничными условиями \( y(0) = 1 \) и \( y(1) = 4 \) имеет вид:

\[ y = 2x^2 + x + 1 \]