Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-4x+4 y=4-x^2​

Answer 1

У=х^2+2; у=0;х=0; х=2

у=х^2-4x+4 - это парабола ветви направлены вверх

у =0 - это ось Ох

х = 0 - это ось Оу

х = 1- это прямая паралельная оси Оу и проходящая через точку х =1

Необходимо найти площадь под параболой на интервале от х1 = 0 до х2 = 1

S = интеграл(от 0(внизу) до 1(вверху))( х^2-4x+4)dx = (1/3)x^3 -2x^2+4x(от 0(внизу) до 1 (вверху))= (1/3)*1^3 -2*1^2+4*1-((1/3)*0-2*0+4*0) = 1/3-2+4 = 2+1/3 =приблизительно 2,33.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, в данном случае y = x^2 - 4x + 4 и y = 4 - x^2, мы должны сначала определить точки пересечения этих двух кривых.

Для этого, приравняем уравнения к друг другу:

x^2 - 4x + 4 = 4 - x^2

Теперь объединим подобные члены:

2x^2 - 4x = 0

Вынесем общий множитель:

2x(x - 2) = 0

Теперь у нас есть два возможных значения для x: x = 0 и x = 2.

Подставим каждое значение x в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения y.

При x = 0:

y = (0)^2 - 4(0) + 4 = 4

При x = 2:

y = (2)^2 - 4(2) + 4 = 4

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (0, 4) и (2, 4).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, мы должны взять интеграл от разности y-значений для каждого значения x в пределах от x = 0 до x = 2.

Итак, площадь можно выразить следующим образом:

S = ∫[0,2] (4 - x^2) - (x^2 - 4x + 4) dx

Выполним интегрирование:

S = ∫[0,2] (4 - x^2 - x^2 + 4x - 4) dx

S = ∫[0,2] (8x - 2x^2) dx

S = [4x^2 - (2/3)x^3]|[0,2]

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

S = (4(2)^2 - (2/3)(2)^3) - (4(0)^2 - (2/3)(0)^3)

S = (4 * 4 - (2/3) * 8) - (0 - 0)

S = 16 - (16/3)

S = (48/3) - (16/3)

S = 32/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 4x + 4 и y = 4 - x^2, равна 32/3 или примерно 10.67.