Question

Найдите производную у функции y=ln(tg(2)/(x))

Answer 1

это производная сложной функции, сначала берем производные от логарифма, потом от тангенса, потом от 2/х, и находим их произведение.

y'=(ln(tg(2)/(x)))'=1/(tg(2)/(x))*(1/cos²(2/x))*(-2/x²)

Answer 2

Давайте найдем производную функции \( y = \ln\left(\frac{\tan(2)}{x}\right) \) по переменной \( x \).

Используем несколько свойств логарифмов и производных:

1. Производная логарифма: \(\frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}\). 2. Производная тангенса: \(\frac{d}{dx} \tan(u) = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx}\).

Теперь выразим функцию \( y \) с использованием этих свойств:

\[ y = \ln\left(\frac{\tan(2)}{x}\right) = \ln(\tan(2)) - \ln(x) \]

Теперь найдем производные каждого члена:

1. Для \(\ln(\tan(2))\): \[ \frac{d}{dx} \ln(\tan(2)) = \frac{1}{\tan(2)} \cdot \sec^2(2) \cdot \frac{d}{dx} \tan(2) \]

2. Для \(\ln(x)\): \[ \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \]

Теперь объединим эти результаты:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan(2)} \cdot \sec^2(2) \cdot \frac{d}{dx} \tan(2) - \frac{1}{x} \]

Заметим, что \(\frac{d}{dx} \tan(2) = \sec^2(2)\). Подставим это значение:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2(2)}{\tan(2)} - \frac{1}{x} \]

Теперь упростим это выражение. Заметим, что \(\frac{\sec^2(2)}{\tan(2)} = \cos^2(2)\), поскольку \(\sec^2(2) = \frac{1}{\cos^2(2)}\). Таким образом, получаем:

\[ \frac{dy}{dx} = \cos^2(2) - \frac{1}{x} \]

Это и есть производная функции \( y \) по переменной \( x \).